Από γεωμετρική σε αριθμητική

hlkampel · #1

Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC

με $AD,\,\,AE$ και

το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα.

Αν τα μήκη των τμημάτων $ME,\,\,DE$ και

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, με αυτή τη σειρά, με λόγο 3,

να δείξετε ότι τα μήκη των πλευρών $c,\,\,a$ και

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με αυτή τη σειρά.

: Από γεωμετρική σε αριθμητική.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

#2

hlkampel έγραψε:Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο με $AD,\,\,AE$ και το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος αντίστοιχα.

Αν τα μήκη των τμημάτων $ME,\,\,DE$ και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, με αυτή τη σειρά, με λόγο 3,

να δείξετε ότι τα μήκη των πλευρών $c,\,\,a$ και είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με αυτή τη σειρά.

Από γεωμετρική σε αριθμητική.png

Καλημέρα!

Αν ME=x

, τότε

και

. Αλλά, $\displaystyle{BM = \frac{a}{2} \Leftrightarrow 13x = \frac{a}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=\frac{a}{26}}$ (1)

$\displaystyle{BE = \frac{{ac}}{{b + c}} \Leftrightarrow 12x = \frac{{ac}}{{b + c}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{b=\frac{7c}{6}}$ (2)

και από δεύτερο θεώρημα διαμέσων:

$\displaystyle{{b^2} - {c^2} = 2a \cdot 4x\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)} \frac{{49{c^2}}}{{36}} - {c^2} = \frac{{4{a^2}}}{{13}} \Leftrightarrow a = \frac{{13c}}{{12}} = \frac{{7c}}{{12}} + \frac{c}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a=\frac{b+c}{2}}$

Από γεωμετρική σε αριθμητική

Από γεωμετρική σε αριθμητική

Re: Από γεωμετρική σε αριθμητική

Μέλη σε σύνδεση