Ελάχιστο αθροίσματος

#1

: Ελάχιστο αθροίσματος.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 1786 φορές

Το σημείο

κινείται στον έγκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή

του αθροίσματος $BS+\dfrac{SC}{2}$ και να εντοπίσετε το σημείο

#2

Δυο μέρες είναι πολλές για αναπάντητο θέμα αναρτημένο στο

. Σχεδόν ξεχασμένο το λες.

Κάνω μια προσπάθεια, που καταλήγει στην ανάγκη χρήσης τεχνολογιών. Οπότε θεωρώ ότι είναι αποτυχημένη.

Την αναρτώ, ως αφορμή για να ασχοληθούν οι αγαπητοί κι εκλεκτοί φίλοι!

: 04-04-2017 Γεωμετρία b.jpg (18.64 KiB) Προβλήθηκε 1680 φορές

Έστω κύκλος κέντρου K(0,0), r = 1

. Έστω

η πλευρά του περιγεγραμμένου τριγώνου και $\displaystyle \upsilon$ το ύψος του.

Είναι $\displaystyle r = \frac{\upsilon }{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$ , οπότε $\displaystyle a = 2\sqrt 3$ .

Έτσι, $\displaystyle A\left( {0,\;2} \right),\;\;B\left( { - \sqrt 3 ,\; - 1} \right),\;\;C\left( {\sqrt 3 ,\; - 1} \right)$ .

Έστω $\displaystyle S\left( {\cos t,\;\sin t} \right)$ σημείο του κύκλου, με $\displaystyle 0 \le t < 2\pi$ .

Οπότε $\displaystyle BS + \frac{{SC}}{2} = \sqrt {{{\left( {\cos t + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sin t + 1} \right)}^2}} + \frac{{\sqrt {{{\left( {\cos t - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sin t + 1} \right)}^2}} }}{2}$

Έστω $\displaystyle f\left( t \right) = \sqrt {2\sin t + 2\sqrt 3 \cos t + 5} + \frac{{\sqrt {2\sin t - 2\sqrt 3 \cos t + 5} }}{2} =$

$\displaystyle = 2\sqrt {\frac{1}{2}\sin t + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos t + \frac{5}{4}} + \sqrt {\frac{1}{2}\sin t - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos t + \frac{5}{4}} =$

$\displaystyle = 2\sqrt {\sin \left( {t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{5}{4}} + \sqrt {\sin \left( {t - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{5}{4}} ,\;\;t \in \left[ {0,\;2\pi } \right)$ .

Βρίσκω min για

περίπου ίσο με $1,23\pi$ και ελάχιστη τιμή 2,29

, με πλευρά τριγώνου $\displaystyle 2\sqrt 3$ , άρα ανάγοντάς το σε τυχαία πλευρά

, είναι $\displaystyle BS + \frac{{SC}}{2}{\,_{\min }} \cong 0,66a$ .

ealexiou · #3

Χαιρετώ τους φίλους Γιώργο και Γιώργο.

Και μια δική μου (ημιτελής) προσπάθεια.

: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΙΣΒΙΚΗΣ.png (40.14 KiB) Προβλήθηκε 1668 φορές

#4

Ακριβής τιμή ( με Ευκλείδεια Γεωμετρία) $\boxed{{{(SB + \frac{{SC}}{2})}_{\min }} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}a}$

Αφού αποδείξουμε to Λήμμα:

: Λημμα_fr1.png (29.78 KiB) Προβλήθηκε 1606 φορές

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και

τα μέσα των πλευρών BC,CA,AB

.

Έστω ακόμα οι εγγεγραμμένοι κύκλοι (O)

του $\vartriangle ABC$ και (K)

του $\vartriangle EDC$ .

Σημείο

διαγράφει το κύκλο (O)

και η

τέμνει τον κύκλο (K)

στο σημείο

.

Αν

το μέσο του

τότε το $\vartriangle STM$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Μετά με τριγωνική ανίσωση οδηγούμαστε στη θέση του

. Το λογιστικό μετά μέρος εύκολο.

Παρατήρηση. Έχω για το λήμμα βρει δύο λύσεις

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους !
Οφείλω να

την έμπνευση του Νίκου !
Μια σύντομη απόδειξη του λήμματος.

: 5-4-17 Ελάχιστο άθροισμα.PNG (11.68 KiB) Προβλήθηκε 1600 φορές

Το λήμμα ζητά να δείξουμε ότι FT=FC/2

. Έστω

το μέσον του

.
Τότε στο $\triangleright FOC$ τα M,K

μέσα , άρα $MK \parallel = FO/2$ δηλ το

ανήκει στον μικρό κύκλο
αφού η ακτίνα του είναι η μισή του μεγάλου. ( KT= OZ/2

).

Ακόμη το FMKT

είναι χαρταετός αφού KM=KT

και $F\widehat{K}O=K\widehat{F}O=F\widehat{K}M$ . Άρα FT=FM=FC/2

.
Συνεπώς (όπως εννοεί και ο Νίκος ) έχουμε $BT\leq BF+FT=BF+FC/2$ ,
έτσι το ζητούμενο

είναι η τομή του

με τον έγκυκλο του ABC

και το ελάχιστο είναι $BS+\dfrac{SC}{2}=BS+ST=BT=\dfrac{\alpha \sqrt{7}}{4}$ (με Πυθαγόρειο στο ορθ. BZT

)..

Φιλικά Γιώργος.

#6

george visvikis έγραψε:Ελάχιστο αθροίσματος.png
Το σημείο κινείται στον έγκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς Να βρείτε την ελάχιστη τιμή

του αθροίσματος $BS+\dfrac{SC}{2}$ και να εντοπίσετε το σημείο

Λίγο διαφορετικά από το αγαπητό Γιώργο Μήτσιο στην απόδειξή του λήμματος.

: Λημμα fr1.png (31.93 KiB) Προβλήθηκε 1563 φορές

Επειδή το κέντρο

είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle EDC$ ,το δε

μέσο του

, ισχύει:

$\boxed{\frac{{KT}}{{KC}} = \frac{{ZT}}{{ZC}} = \frac{1}{2}}$ . Δηλαδή η δέσμη (SK,SZ,ST,SC)

είναι αρμονική και αφού

$\widehat {ZSK} = 90^\circ$ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο στο τρίγωνο $\vartriangle STC$ η

είναι εσωτερική

διχοτόμος . Όμως το

είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο κύκλων ,

συνεπώς SZ//MT

. Μετά απ’ αυτά : $SK \bot TM$ , άρα το $\vartriangle STM$ είναι ισοσκελές

επί πλέον δε το

είναι μέσο του

.

Τώρα στην άσκηση :

: Ελάχιστο αθροίσματος_λόγω λήμματος.png (31.72 KiB) Προβλήθηκε 1563 φορές

Από το $\vartriangle SBT$ έχω: $\boxed{SB + ST \geqslant BT \Rightarrow SB + SM \geqslant BT = \sqrt {B{Z^2} + Z{T^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}a}$ .

KARKAR · #7

Τι θα λέγατε να βρούμε και το μέγιστο της ίδιας ποσότητας ;

#8

Να σας ευχαριστήσω όλους για την ενασχόληση με το θέμα. Τον Γιώργο Ρίζο για την αναλυτικο-τριγωνομετρική προσέγγιση, τον Ευθύμη Αλεξίου για την γεωμετρική κατασκευή, τον Νίκο Φραγκάκη για την κατασκευή, το λήμμα και την γεωμετρική λύση και τον Γιώργο Μήτσιο για την απόδειξη του λήμματος και τον υπολογισμό. Όσο για το μέγιστο που προτείνει ο Θανάσης, δεν μπόρεσα να βρω κάτι, εκτός ίσως από τη γωνία $B\widehat ST$ (στο σχήμα του Νίκου) που φαίνεται να είναι 50^0

(αλλά δεν έχω απόδειξη και μπορεί να κάνω και λάθος).Να πω όμως δυο λόγια για το γεωμετρικό αυτό πρόβλημα.

Πριν από μερικές μέρες είχα βάλει μία άσκηση εδώ που δεν έτυχε ευρείας αποδοχής. Για την ακρίβεια, απάντησε μόνο ο κ. Λάμπρου, και είμαι σίγουρος ότι θα απόρησε, πώς μου ήρθε να βάλω κάτι τόσο φανερό! Στην πραγματικότητα εκείνη η άσκηση μπήκε για να προετοιμάσει το έδαφος σε αυτό εδώ το θέμα.

: Ελάχιστο αθροίσματος.II.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 1504 φορές

Πράγματι, στην παραπομπή αποδείχτηκε ότι για κάθε σημείο

του έγκυκλου είναι MC=2MP

(

μέσο του

) Άρα:

$\displaystyle{MB + \frac{{MC}}{2} = MB + MP \ge BP}$ , που λύνει κατασκευαστικά το πρόβλημα και απλουστεύει τον υπολογισμό.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλημέρα σε όλους ! Μια αναφορά στο μέγιστο του εν λόγω αθροίσματος.
Πράγματι με χρήση της νεύσης η μέγιστη τιμή δείχνει να είναι περίπου $BS+ST= 1,16448\cdot \alpha$ και τότε η $\widehat{BST}$ , που αναφέρει ο Γιώργος πριν
είναι γύρω στις $50^{0}$ ..το μόνο που κατάφερα να ''δείξω'' με χρήση της τεχνολογίας είναι ότι η γωνία αυτή ΔΕΝ είναι ακριβώς $50^{0}$ ..
αν ήταν -έχω την πεποίθηση ότι - κάποιος δεινός <<Γεωμετράνθρωπος>>, ας πούμε ο G.V..

..θα το είχε αποδείξει !

: 22-4-17 Ελάχιστο...PNG (11.07 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

Ακολουθώντας την μέθοδο του αγαπητού Γιώργου Ρίζου εκφράζω το εν λόγω άθροισμα ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής.

Έστω ακτίνα OD=OS=2

τότε είναι OT=1..OB=4..

. Ακόμη είναι $B\widehat{O}T=120^{0}$ και θέτω $B\widehat{O}S= x$ οπότε $T\widehat{O}S= 240^{0}- x$ .

Από τον Ν.Σ στα τρίγωνα BOS, SOT

προκύπτουν $BS=2\sqrt{5-4cosx}...ST= \sqrt{5+2cosx +2\sqrt{3}sinx}$ άρα

$f\left ( x \right )=2\sqrt{5-4cosx}+ \sqrt{5+2cosx +2\sqrt{3}sinx}$ .

Η.. τεχνολογία μας δίνει το

για να έχουμε μέγιστο , το μετατρέπουμε από ακτίνια σε μοίρες και παίρνουμε $B\widehat{O}S=142,77503..$ . Στη συνέχεια εντοπίζουμε το

και μετράει για χάρη μας $B\widehat{S}T= 50,03538..$

Συμφωνώ - ατυχώς εκ των υστέρων- ότι το θέμα αυτό Γιώργο είχε την ..υποστήριξή του , με θέμα προπομπό από τον θεματοθέτη του !
Ας μου επιτραπεί να δώσω ένα ακόμη παράδειγμα : Το θέμα εδώ αλλά και τούτο τέθηκαν με την προσδοκία του υποβάλλοντος
ώστε το θέμα αυτό να βρεί τον δρόμο του..

Φιλικά Γιώργος

Ελάχιστο αθροίσματος

Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση