Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

KARKAR · #1

: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, υπολογίστε ( με σχολική ύλη ) , την $\tan^2\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2024 7:16 pm
Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , υπολογίστε ( με σχολική ύλη ) , την $\tan^2\theta$ .

Είναι $AB=6\sin \theta, \, AC = 6\cos \theta$ . Άρα από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABS, \, ASC$ έχουμε

$\cos \widehat {ASB} = \dfrac {1^2+3^2- 36 \sin ^2 \theta }{ 2\cdot 1\cdot 3 }$ και $\cos \widehat {ASC} = \dfrac {3^2+5^2- 36 \cos ^2 \theta }{ 2\cdot 3\cdot 5}$

Αλλά οι $\widehat {ASB} , \, \widehat {ASC}$ ως παραπληρωματικές έχουν αντίθετα συνημίτονα. Συνεπώς οι δύο προηγούμενες δίνουν

$\dfrac {1^2+3^2- 36 \sin ^2 \theta }{ 2\cdot 1\cdot 3 } = - \dfrac {3^2+5^2- 36 \cos ^2 \theta }{ 2\cdot 3\cdot 5}$ ισοδύναμα

$\displaystyle{ 180 \sin ^2 \theta -50=34 - 36 \cos ^2 \theta }$ , οπότε $180 (1- \cos ^2 \theta ) -84= - 36 \cos ^2 \theta$

από όπου $\cos ^2 \theta = \dfrac {2}{3}$ και άρα το ζητούμενο $\tan ^2 \theta = \dfrac {1}{2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2024 7:16 pm
Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , υπολογίστε ( με σχολική ύλη ) , την $\tan^2\theta$ .

Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,3} \right)$ που τέμνει την

ακόμα στο

Θέτω $ST = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = y$ . Προφανώς $x + y = 5\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Από τη δύναμη των σημείων $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ ως προς αυτόν τον κύκλο , έχω ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} BS \cdot BT = A{B^2} - 9\,\,\,\,\left( * \right) \hfill \\ CT \cdot CS = A{C^2} - 9\,\,\,\left( { * * } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,$ . Με πρόσθεση κατά μέλη και λόγω Π. Θ. έχω: $\left( {x + 1} \right) + 5y = 36 - 18 \Leftrightarrow x + 5y = 17\,\,\left( 2 \right)$ .

: γεωμ_Γεωμετρική πρόοδος.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ , έχω $x = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 3$ .

Γι’ αυτές τις τιμές από τις $\left( * \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( { * * } \right)$ έχω : $A{B^2} = 12\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A{C^2} = 24 \Rightarrow \boxed{{{\tan }^2}\theta = \frac{1}{2}}$

Παρατήρηση :

Για να είναι 100% σύννομη η πιο πάνω λύση ( δηλαδή χωρίς δύναμη σημείου ) μπορούμε να πούμε και το εξής:

Αφού $AS = 3 = \dfrac{{BC}}{2}$ αν διάμεσος στο $\vartriangle ABC$ θα είναι $ST = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = 3.$

Μετά φέρνω το ύψος το υπολογίζω από το Π. Θ. στο $\vartriangle ASK$ ( είναι $2\sqrt 2$ ) υπολογίζω μετά τις $AB\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ κ. λ. π.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2024 7:16 pm
Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , υπολογίστε ( με σχολική ύλη ) , την $\tan^2\theta$ .

Με

μέσον της

θα είναι $AS=AM=BM=3 \Rightarrow SM=2 \Rightarrow SD=DM=1$

$c^2=BD.BC=2.6=12 \Rightarrow b^2=24$ και $tan^2C= \dfrac{c^2}{b^2}= \dfrac{12}{24}= \dfrac{1}{2}$

: γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.png (8 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2024 7:16 pm
Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , υπολογίστε ( με σχολική ύλη ) , την $\tan^2\theta$ .

Γενίκευση Πυθαγορείου στα ABS, ASC.

: Γ.ΓΠ.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{B^2} = 10 + 2x \hfill \\ A{C^2} = 34 - 10x \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( + )} 36 = 44 - 8x \Leftrightarrow$ $\boxed{x=1}$

Άρα, AB^2=12, AC^2=24

και $\boxed{{\tan ^2}\theta = \frac{1}{2}}$

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση