Βρείτε το εμβαδόν (10)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το εμβαδόν (10)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Δεκ 07, 2010 11:05 pm

Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με ΒΓ=ΑΔ=8.

Τα σημεία Ε, Θ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα.

Πάνω στην πλευρά ΒΓ παίρνω σημεία Ζ, Η τέτοια ώστε ΒΖ=ΗΓ=2.

Ενώνω τα σημεία Α, Ε με το Η και τα σημεία Δ, Θ με το Ζ. Το κόκκινο τετράπλευρο έχει εμβαδόν 2 τ.μ.

Βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ.
Συνημμένα
area10.jpg
area10.jpg (30.23 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε το εμβαδόν (10)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Δεκ 08, 2010 5:18 pm

τα γράμματα στο σχήμα μου ,δεν είναι ίδια με αυτά του Μιχάλη-δεν έχει σημασία
και το σχήμα το άλλαξα λίγο για να φαίνονται τα τμήματα
Συνημμένα
10,ruxu.png
10,ruxu.png (29.89 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το εμβαδόν (10)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Δεκ 08, 2010 6:40 pm

Φωτεινή έγραψε:τα γράμματα στο σχήμα μου ,δεν είναι ίδια με αυτά του Μιχάλη-δεν έχει σημασία
και το σχήμα το άλλαξα λίγο για να φαίνονται τα τμήματα
Άψογη όπως πάντα. :10sta10:


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4347
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε το εμβαδόν (10)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 08, 2010 10:15 pm

Ελπίζω να μην άργησα! Μία προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία, αλλά και με ομοιότητα τριγώνων.
08-12-2010 Geometry.png
08-12-2010 Geometry.png (49.02 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές
Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κορυφή Ο (0, 0) παίρνουμε τα σημεία Η(2, 0), Γ(4, 0), Θ(4, α), Δ(4, 2α), Α(-4, 2α), Ε(-4, α), Β(-4, 0) και Ζ(-2, 0), α > 0.

Οι ΗΕ και ΖΘ τέμνονται, λόγω συμμετρίας στον άξονα y΄y στο Μ και οι ΗΑ, ΖΔ ομοίως στο Λ. Ακόμα έστω Κ το σημείο τομής των ΗΑ, ΖΘ.

Τα τρίγωνα ΖΘΔ και ΖΛΚ είναι όμοια (δύο πλευρές συνευθειακές και οι τρίτες παράλληλες) με λόγο \displaystyle 
\frac{{\Lambda {\rm M}}}{{\Theta \Delta }} = \frac{{{\rm Z}{\rm O}}}{{{\rm Z}\Gamma }} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, οπότε \displaystyle 
\left( {\Lambda {\rm M}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\Theta \Delta } \right) = \frac{1}{3}\alpha

Η ΖΘ έχει έχει εξίσωση: \displaystyle 
y = \frac{\alpha }{6}\left( {x + 2} \right) και η ΗΑ έχει εξίσωση: \displaystyle 
y =  - \frac{\alpha }{3}\left( {x - 2} \right)

Το σημείο τομής τους Κ έχει τετμημένη x που επαληθεύει την εξίσωση:
\displaystyle 
\frac{\alpha }{6}\left( {x + 2} \right) =  - \frac{\alpha }{3}\left( {x - 2} \right)\; \Leftrightarrow \;x + 2 =  - 2x + 4\; \Leftrightarrow \;x = \frac{2}{3}

Το εμβαδόν του ΚΛΜ είναι 1, αφού, λόγω συμμετρίας, είναι το μισό του εμβαδού του κόκκινου τετραπλεύρου.

Οπότε: \displaystyle 
\frac{{\Lambda {\rm M} \cdot \upsilon _{\rm K} }}{2} = 1 \Rightarrow \frac{\alpha }{3} \cdot \frac{2}{3} = 2\; \Rightarrow \;\alpha  = 9. Άρα ΑΒ = 18 και (ΑΒΓΔ) = 18•8 = 144.

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Θέλω από καρδιάς να ευχαριστήσω όλους τους φίλους του mathematica για τις όμορφες (κατά το πλείστον) στιγμές που περάσαμε ως εδώ(*), με τις ενδιαφέρουσες ασκήσεις, τις ιδέες, τις προτάσεις, τις απόψεις και τα αστεία που ανταλλάξαμε μέχρι τώρα, ευχόμενος να συνεχίσουμε έτσι και καλύτερα!
(*)
08-12-2010 1000.png
08-12-2010 1000.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες