Βρείτε την πλευρά (10)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3130
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε την πλευρά (10)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Δεκ 08, 2010 7:55 pm

Βρείτε την πλευρά κανονικού πενταγώνου ABCDE αν FG = 2
Συνημμένα
plevra10.jpg
plevra10.jpg (55.93 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Τετ Δεκ 08, 2010 8:52 pm

Από ομοιότητα τριγώνων EFG , EBC είναι
\displaystyle{ 
\frac{2}{k} = \frac{x}{{2x + 2}} \Rightarrow k = \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{x} \Rightarrow k^2  = \frac{{16\left( {x + 1} \right)^2 }}{{x^2 }} 
}
Στο ορθογώνιο EGH
\displaystyle{ 
y^2  = x^2  - 1 
}
Στο ορθογώνιο EDH
\displaystyle{ 
k^2  = y^2  + \left( {x + 1} \right)^2  = 2x^2  + 2x 
}
Από τις 2 παραπάνω προκύπτει εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  - 8x - 8 = 0 
} η οποία έχει ρίζα μεταξύ του 3 και του 4 :wallbash:
Συνημμένα
Χωρίς τίτλο.png
Χωρίς τίτλο.png (342.81 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Δεκ 08, 2010 9:02 pm

Από τις 2 παραπάνω προκύπτει εξίσωση \displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 } η οποία έχει ρίζα μεταξύ του 3 και του 4 :wallbash:

\displaystyle{\bf\frac{BE}{BF}=\Phi} όπου Φ ο χρυσός λόγος \displaystyle{\bf \frac{1+\sqrt{5}}{2}}. Από την παραπάνω,

\displaystyle{\bf \frac{2x+2}{x+2}=\Phi\Rightarrow x=\frac{2(\Phi -1)}{2-\Phi}}, και \displaystyle{\bf x\approx3.235602094} ή καλύτερα \displaystyle{\bf x=1+\sqrt{5}}

Από το σχήμα που έκανε ο ZitaVita, στο τρίγωνο \displaystyle{\bf F\overset{\triangle}{H}E} με Πυθαγόρειο θεώρημα \displaystyle{\bf y^2=(\sqrt{5}+1)^{2}-1}. Όμοια από το τρίγωνο \displaystyle{\bf E\overset{\triangle}{H}A} αν \displaystyle{\alpha} η ζητούμενη πλευρά ,
\displaystyle{\bf (\sqrt{5}+2)^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2}-1=\alpha^{2}\Rightarrow \alpha=\sqrt{(\sqrt{5}+2)^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2}-1}}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Δεκ 08, 2010 10:37 pm

μπορούμε επίσης να βρούμε τη ζητούμενη πλευρά εφαρμόζοντας νόμο συνημιτόνων στα ισοσκελή τρίγωνα

FEG,\,\,\hat{FEG}=36^o και AFE,\,\,\hat{AFE}=108^o


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3130
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Δεκ 08, 2010 11:08 pm

Άλλη μια λύση είναι η εξής:

Αφού αναλύσουμε τις γωνίες προκύπτουν τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα FGH, EFA.

Από το λόγο ομοιότητας (θέτοντας FA=FH=FE=x και από το ισοσκελές τρίγωνο AGE: AE=x+2)παίρνω \displaystyle\frac{2}{x} = \displaystyle\frac{x}{{x + 2}} \Rightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0.

Από την τελευταία εξίσωση δεκτή λύση είναι η \sqrt 5  + 1, οπότε η πλευρά του κανονικού πενταγώνου ABCDE θα είναι \sqrt 5  + 3.
Συνημμένα
plevra10-sol.png
plevra10-sol.png (20.36 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Δεκ 08, 2010 11:49 pm

Μιχάλη,
αν ζούσες στον Μεσαιώνα και δημοσίευες τέτοια κείμενα για την πεντάλφα,
σίγουρα θα έσπαγες πέτρες (εννοείται με σιδερένια μπάλα στο πόδι) στα υπόγεια κάποιου κτιρίου της "Ιεράς Εξέτασης".
Όσο για τη Φωτεινή δεν το συζητώ, κατευθείαν στην πυρά, είναι ολοφάνερο ότι πρόκειται για μάγισσα.
Τα γράφω αυτά, επειδή είχα δώσει μία εργασία σε έναν μαθητή μου για το κανονικό πεντάγωνο και την πεντάλφα,
από την εποχή των Πυθαγορείων έως και την Αναγέννηση.
Εντυπωσιακές πληροφορίες προέκυψαν για τις "σατανικές" ιδιότητες που αποδόθηκαν στο σχήμα αυτό,
κατά τη γνώμη μου από σκοταδιστές, οι οποίοι είχαν καταδικάσει με βαριές ποινές την ενασχόληση με τα Μαθηματικά.
Αν και οι περισσότερες πληροφορίες προέρχονται από το Διαδίκτυο, για λόγους δεοντολογίας πρέπει να ζητήσω την άδεια
να αναρτήσω την ενδιαφέρουσα - κατά την άποψή μου - εργασία, επισκόπηση στο θέμα του κανονικού πενταγώνου.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Πέμ Δεκ 09, 2010 12:13 am

Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  - 8x - 8 = 0 
}
μπορώ να βρω την λύση \displaystyle{ 
\sqrt 5  + 1 
} που είναι σωστή;
καθότι μετα για \displaystyle{ 
x = \sqrt 5  + 1 
} το \displaystyle{ 
k = \sqrt 5  + 3 
} εύκολα


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10434
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 09, 2010 12:20 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Εντυπωσιακές πληροφορίες προέκυψαν για τις "σατανικές" ιδιότητες που αποδόθηκαν στο σχήμα αυτό,
κατά τη γνώμη μου από σκοταδιστές, οι οποίοι είχαν καταδικάσει με βαριές ποινές την ενασχόληση με τα Μαθηματικά.
Ανδρέα,

επειδή έχω και εγώ ασχοληθεί με το θέμα, έχεις δίκιο. Σε βλέπω για την πυρά. Αν την γλυτώσεις, κάνε εργασία και για την εξάλφα οπότε ... κάηκες.

Επίσης έχω βρεί πάρα πολύ ωραίο υλικό για την σχέση (εννοώ "σχέση") Μαθηματικών και Μαγείας. Π.χ. ο Άγιος Αυγουστίνος έχει (στα Λατινικά) ένα απίστευτο τσιτάτο που καταδικάζει απερίφραστα τα Μαθηματικά. Όμως σπεύδω να τονίσω ότι υπάρχει και μία παρανόηση εδώ. Ο Άγιος Αυγουστίνος και οι αντίστοιχοι επικριτές χρησιμοποιούσαν τον όρο Μαθηματικά με την έννοια που σήμερα αποδίδουμε στον όρο Αστρολογία. Την εποχή του δηλαδή, στον Ρωμαϊκό κόσμο, η λέξη Μαθηματικά δεν είχε το νόημα (ως λέξη) που είχε την αρχαιότητα ή σήμερα.
Στην πραγματικότητα, τότε τα Μαθηματικά έχαιραν εκτίμησης και ήταν μέρος της Παιδείας με το όρο quadrivium (= Αριθμητική, Γεωμετρία, Αστρονομία και Μουσική).
Η αρνητική απόδοση του όρου Μαθηματικά διατηρήθηκε μέχρι και την εποχή της Τουρκοκρατίας, αλλά αποκαταστάθηκε από τους Διαφωτιστές, στον πόλεμό τους κατά των δεισιδαιμονιών.

Αν ευδοκίσω, θα γράψω το άρθρο περί Μαθηματικών και Μαγείας.

Φιλικά,

Μιχάλης


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Πέμ Δεκ 09, 2010 12:26 am

ZITAVITA έγραψε:Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  - 8x - 8 = 0 
}
μπορώ να βρω την λύση \displaystyle{ 
\sqrt 5  + 1 
} που είναι σωστή;
καθότι μετα για \displaystyle{ 
x = \sqrt 5  + 1 
} το \displaystyle{ 
k = \sqrt 5  + 3 
} εύκολα
x^{3}-8x-8=x^{3}+8-8x-16=\left(x+2 \right)\left(x^{2}-2x+4 \right)-8\left(x+2 \right)=\left(x+2 \right)\left(x^{2}-2x-4 \right) \kappa .\lambda .\pi .


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3130
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Δεκ 09, 2010 12:33 am

ZITAVITA έγραψε:Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  - 8x - 8 = 0 
}
μπορώ να βρω την λύση \displaystyle{ 
\sqrt 5  + 1 
} που είναι σωστή;
καθότι μετα για \displaystyle{ 
x = \sqrt 5  + 1 
} το \displaystyle{ 
k = \sqrt 5  + 3 
} εύκολα
Η τελική σου εξίσωση είναι:
2{x^4} + 2{x^3} - 16{x^2} - 32x - 16 = 2(x + 1)({x^3} - 8x - 8) = 2(x + 1)(x + 2)({x^2} - 2x - 4) = 0
,οπότε απορρίπτονται οι αρνητικές τιμές -1, -2 και 1 - \sqrt 5 και δεχόμαστε μόνο την 1 + \sqrt 5 .


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης