Η 100στη άσκηση

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Η 100στη άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Δεκ 14, 2010 9:09 pm

Σε επικοινωνία που είχα σήμερα με τον Γιώργο Ρίζο, συνειδητοποίησα ότι έχω ανεβάσει 99 ασκήσεις (στην κατηγορία: βρείτε τη(ν)/το γωνία, πλευρά, εμβαδόν, λόγο, κ.λ.π.).

Έτσι ανεβάζω την 100στη άσκηση με το παραδοσιακό Χριστουγεννιάτικο δέντρο (Χρήστο Τσιφάκη περιμένουμε τα μελομακάρονα… :) ) και την αφιερώνω στο συμφοιτητή μου Λευτέρη Πρωτοπαπά για την αυριανή ονομαστική του εορτή.

Σας ευχαριστώ όλους θερμά για τα 2 χρόνια διαδικτυακής παρέας.


Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνω σημείο Ε, τέτοιο ώστε {\rm A}\widehat {\rm E}\Delta  = {90^ \circ }. Προεκτείνω την πλευρά ΑΕ και έστω Ζ το σημείο τομής με τη ΓΔ. Αν \left( {\Gamma {\rm Z}{\rm E}} \right) = 6\tau .\mu . και \left( {\Delta {\rm Z}{\rm E}} \right) = 12\tau .\mu . βρείτε:
1) Την πλευρά του τετραγώνου
2) Το άθροισμα: {\rm B}{\rm E} + {\rm E}\Gamma.
100.jpg
100.jpg (97.05 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Η 100στη άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τρί Δεκ 14, 2010 10:28 pm

1) \displaystyle \frac{(\Delta EZ)}{(EZ\Gamma)}=2 \Rightarrow \frac{\Delta Z}{Z \Gamma}=2 \Rightarrow \Delta Z = 2Z\Gamma δηλ. αν ΖΓ = x, τότε ΔΖ=2x και ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=ΔΑ=3x.
Όμως \displaystyle A \Delta Z  \sim \Delta E Z \Rightarrow \frac{\Delta E}{EZ}= \frac{A \Delta}{\Delta Z}=\frac{3}{2} \ \ (1)
Επίσης \displaystyle \frac{\Delta E \cdot EZ}{2}=12 \ \  (2)
Από (1),\ \ (2) \Rightarrow \Delta E = 6, \ \ EZ =4 και με Πυθαγόρειο στο ΔΕΖ βρίσκουμε x=\sqrt{13}, οπότε \boxed {A \Delta = 3\sqrt{13}}

2) \displaystyle (\Delta E Z )=12 \Rightarrow \frac{\Delta Z \cdot EH}{2}=12 \Rightarrow \frac{2\sqrt{13} \cdot EH}{2}=12 \Rightarrow EH = \frac{12}{\sqrt{13}}= K \Gamma
Έτσι, από Πυθαγόρειο στο ΔΕΗ βρίσκουμε \displaystyle \Delta H = \frac{18}{\sqrt{13}} \Rightarrow H \Gamma = 3\sqrt{13}- \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{21}{\sqrt{13}}=EK
και με 2 Πυθαγορειάκια στα ΕΚΓ, ΕΒΚ βρίσκουμε \boxed{BE + E\Gamma = 3\sqrt{5}(1+\sqrt{2}}

Υ.Γ. Ουφ! Ελπίζω να μην έκανα λάθος στις πράξεις!
Υ.Γ. 2 Είμαι σίγουρος ότι υπάρχει και πιο σύντομος δρόμος!
Συνημμένα
michael.nannos.100.jpg
michael.nannos.100.jpg (21.96 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η 100στη άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 15, 2010 12:51 am

Μιχάλη, να τις χιλιάσεις. Οι όμορφες ασκήσεις όμορφα λύνονται.
Αντώνη, δεν πρέπει να πήρες λάθος δρόμο, αφού κι εγώ απ' άλλο δρόμο στο ίδιο αποτέλεσμα έφτασα. Πάντως πιο σύντομο δεν βρήκα.
14-12-2010 Geometry.png
14-12-2010 Geometry.png (78.66 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές
Έστω α η πλευρά του τετραγώνου.
Τότε, επειδή (ΔΕΖ) = 2(ΕΖΓ) κι έχουν κοινό ύψος, είναι ΔΖ = 2 ΖΓ, άρα \displaystyle 
\Delta {\rm Z} = \frac{{2\alpha }}{3},\;\Gamma {\rm Z} = \frac{\alpha }{3}.

Προεκτείνουμε την ΑΖ ώστε να τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Κ.

Τα ΓΖΚ, ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο \displaystyle 
\frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{1}{3}, οπότε: \displaystyle 
\Gamma {\rm K} = \frac{\alpha }{2},\;\Gamma {\rm Z} = \frac{\alpha }{3}\; \Rightarrow \;{\rm Z}{\rm K} = \sqrt {\frac{{\alpha ^2 }}{4} + \frac{{\alpha ^2 }}{9}}  = \frac{{\alpha \sqrt {13} }}{6}\;\kappa \alpha \iota \;\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm K}} \right) = \frac{{\alpha ^2 }}{{12}}

Τα ΔΕΖ, ΓΖΚ είναι όμοια με λόγο
\displaystyle 
\frac{{{\rm Z}{\rm K}}}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow \frac{{\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm K}} \right)}}{{\left( {\Delta {\rm E}{\rm Z}} \right)}} = \frac{{13}}{{16}} \Rightarrow \frac{{\alpha ^2 }}{{12}} = \frac{{13}}{{16}} \cdot 12 \Rightarrow \alpha ^2  = \frac{{13 \cdot 144}}{{16}} \Rightarrow \alpha  = 3\sqrt {13}

Φέρνουμε ΕΗ κάθετη στη ΔΓ και ΕΘ κάθετη στη ΒΓ.
Τότε \displaystyle 
\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{1}{2} \cdot \alpha  \cdot {\rm E}{\rm H} \Rightarrow {\rm E}{\rm H} = \frac{{36}}{{3\sqrt {13} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}

Τα ΘΕΚ, ΓΖΚ είναι όμοια με λόγο \displaystyle 
\frac{{\Gamma {\rm K}}}{{\Theta {\rm K}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt {13} }}{2}}}{{\frac{{63}}{{2\sqrt {13} }}}} = \frac{{13}}{{21}}\; \Rightarrow \;\frac{{{\rm Z}\Gamma }}{{{\rm E}\Theta }} = \frac{{13}}{{21}}\; \Rightarrow \;{\rm E}\Theta  = \frac{{21}}{{13}} \cdot \sqrt {13}  = \frac{{21}}{{\sqrt {13} }}

Από Πυθ. Θεώρημα: \displaystyle 
{\rm E}\Gamma ^2  = {\rm E}\Theta ^2  + \Theta \Gamma ^2  = \frac{{441}}{{13}} + \frac{{144}}{{13}} = \frac{{585}}{{13}} = 45 \Rightarrow \;{\rm E}\Gamma  = 3\sqrt 5

και \displaystyle 
{\rm E}{\rm B}^2  = {\rm B}\Theta ^2  + \Theta {\rm E}^2  = \frac{{729}}{{13}} + \frac{{441}}{{13}} = \frac{{1.170}}{{13}}90 \Rightarrow \;{\rm E}{\rm B} = 3\sqrt {10}

Άρα \displaystyle 
{\rm E}{\rm B} + {\rm E}\Gamma  = 3\left( {\sqrt 5  + \sqrt {10} } \right)

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1383
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Η 100στη άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Δεκ 15, 2010 1:58 am

Βασίζομαι στο σχήμα του Αντώνη, (όχι επειδή είναι τόσο ωραίο σχήμα, αλλά δεν ξέρω να κάνω σχήματα).
Ισχύει (από εμβαδόν τριγώνου) ΕΗ.α = 2(12 + 6) = 2.18 = 36
Όμως (από ιδιότητα ορθογωνίων τριγώνων) (α - ΕΗ).ΕΗ = \Delta H^{2}
Άρα, ΕΗ.α - \ EH^{2} =\Delta H^{2}.
Άρα 36 = \Delta H^{2} + \ EH^{2} =\Delta E^{2}. Άρα, ΔΕ = 6, (1)
Όμως, ΔΕ.ΕΖ = 2.12 = 24, άρα 6.ΕΖ = 24, άρα ΕΖ = 4, (2).

Από Πυθαγόρειο θεώρημα και λόγω των σχέσεων (1) και (2) έχουμε \Delta E^{2} + \ EZ^{2} = \Delta Z^{2}.
Άρα, 6^{2 } + 4^{2} = \left(\frac{2a}{3} \right)^{2} \Rightarrow a = 3\sqrt{13}.
Για το δεύτερο ερώτημα, δεν βρήκα κάτι καλύτερο.
Όχι ότι η προσέγγισή μου στο 1ο ερώτημα ήταν συντομότερη από αυτές των Αντώνη και Γιώργου,
αλλά κάτι πρέπει να γράψουμε και εμείς για να δικαιολογήσουμε την παρουσία μας
(και να πιάσουμε τις 400 δημοσιεύσεις, έτσι για τα ένσημα και όχι για τα εύσημα).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Η 100στη άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Δεκ 15, 2010 11:38 am

Μιχάλη σε ευχαριστούμε keep walikng :clap2:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Η 100στη άσκηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Τετ Δεκ 15, 2010 11:55 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Βασίζομαι στο σχήμα του Αντώνη, (όχι επειδή είναι τόσο ωραίο σχήμα,
Τι? Δεν κατάλαβα κ. Ανδρέα! Δε σας άρεσε το σχήμα μου? :lol: :lol: :lol: (κι εγώ αντιγραφή το έκανα, δε φαίνεται? ;) )
Ανδρέας Πούλος έγραψε:...αλλά κάτι πρέπει να γράψουμε και εμείς για να δικαιολογήσουμε την παρουσία μας
(και να πιάσουμε τις 400 δημοσιεύσεις, έτσι για τα ένσημα και όχι για τα εύσημα).
Χαχαχαχα!!! Πάντα απολαυστικός!!!!!! (και τυχερός που θα πάρετε σύνταξη! :evil: )


GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Η 100στη άσκηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Τετ Δεκ 15, 2010 11:34 pm

Μια πολύ ωραία δουλειά τα εκατοστίζει .
Ευχή αλλά και ελπίδα μου είναι να τα χιλιάσει

Μικρή συνεισφορά στις πολύ ωραίες λύσεις με αναλυτική ….

Έστω Β(0,0), Γ(α,0), Δ(α,α), Α(0,α)
Επειδη τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΕΖΒ έχουν το ίδιο ύψος και (ΔΕΖ)=2(ΕΖΒ) άρα ΔΖ=2ΖΒ οπότε ΔΖ=2α/3 και ΖΒ=α/3
Οπότε Z(α, α/3)
η εξίσωση της (ΑΖ): ψ=-2/3*χ+α και ΔΕ κάθετη ΑΖ άρα
(ΔΕ):ψ=3/2*χ - α/2
Οπότε Ε(9α /13 , 7α /13 ) όμως (ΕΖΒ)=6 οπότε

\frac{4a^{2}}{78}=6\Leftrightarrow a=3\sqrt{13} 
,E(\frac{27\sqrt{13}}{13},\frac{21\sqrt{13}}{13})

(BE)=3\sqrt{10}

(E\Gamma )=3\sqrt{5}

Οπότε (ΒΕ)+(ΕΓ)= 3\sqrt{10}+3\sqrt{5}


Γ. Μανεάδης
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1955
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Η 100στη άσκηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Δεκ 15, 2010 11:55 pm

ΜΙΧΑΛΗ :clap2:
να τις χιλιάσεις.
Λοιπόν εκτός από τα μελομακάρονα που θα κεράσω , θα σε βοηθήσω να τις αποδελτιώσουμε.

Χρήστος


Ξεκινάω...


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2807
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Η 100στη άσκηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Δεκ 16, 2010 8:50 am

Μιχάλη,

Συνέχισε την ωραία δουλειά που ξεκίνησες στο :logo: .

Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση της 100ης άσκησης. :coolspeak:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης