Βρείτε το λόγο (10)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το λόγο (10)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιαν 21, 2011 9:11 am

Στο παρακάτω σχήμα που αποτελείται από τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma \left( {{{10}^ \circ }{{,30}^ \circ }{{,140}^ \circ }} \right) και {\rm A}\Gamma \Delta \left( {{{40}^ \circ }{{,60}^ \circ }{{,80}^ \circ }} \right) βρείτε το λόγο \displaystyle\frac{{{\rm B}\Gamma  + \Gamma \Delta }}{{{\rm A}\Gamma }}.
logos10.jpg
logos10.jpg (75.32 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε το λόγο (10)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Παρ Ιαν 21, 2011 9:20 am

καλημέρα... :logo:

\displaystyle{\triangle {AB\Gamma}\rightarrow \frac{B\Gamma}{\sin 10}=\frac{A\Gamma}{\sin 30}}

\displaystyle{\triangle {A\Gamma\Delta}\rightarrow \frac{\Gamma\Delta}{\sin 40}=\frac{A\Gamma}{\sin 80}}

\displaystyle{\frac{B\Gamma +\Gamma\Delta}{A\Gamma}=2\sin10+\frac{1}{2\cos 40}=\frac{4\sin 10\cdot \cos 40+1}{2\cos 40}=\frac{2(\sin 50-\sin 30)+1}{2\cos 40}=\frac{2 \sin 50}{2\cos 40}=1}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το λόγο (10)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιαν 22, 2011 1:20 pm

Μετά την αστραπιαία απάντηση της Φωτεινής να επαναφέρω την άσκηση δίνοντας μια γεωμετρική λύση.


Προεκτείνω την ΒΓ και έστω Ε το σημείο τομής με την ΑΔ. Το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές \left( {{{20}^ \circ }{{,80}^ \circ }{{,80}^ \circ }} \right) επομένως \Gamma \Delta  = \Gamma {\rm E}\,(1).

Το τρίγωνο ΕΑΓ είναι ισοσκελές \left( {{{100}^ \circ }{{,40}^ \circ }{{,40}^ \circ }} \right) και φέρω το ύψος – διάμεσο – διχοτόμο ΕΜ που τέμνει την ΑΒ στο Ν. Φέρω ακόμα την ΕΖ κάθετη στην ΑΒ.

Το τρίγωνο ΝΑΕ είναι ισοσκελές \left( {{{80}^ \circ }{{,50}^ \circ }{{,50}^ \circ }} \right) οπότε ΝΑ = ΝΕ και εφόσον {\rm A}\widehat {\rm N}{\rm E} κοινή έπεται ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΝΜ, ΕΝΖ είναι ίσα, συνεπώς {\rm A}{\rm M} = {\rm Z}{\rm E}\,(2).

Απ’ το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΖ με {\rm Z}\widehat {\rm B}{\rm E} = {30^ \circ } παίρνω {\rm Z}{\rm E} = \displaystyle\frac{{{\rm B}\Gamma  + \Gamma {\rm E}}}{2}\mathop  = \limits^{(1)} \displaystyle\frac{{{\rm B}\Gamma  + \Gamma \Delta }}{2}\, \Rightarrow {\rm B}\Gamma  + \Gamma \Delta  = 2{\rm Z}{\rm E}\,(3) και απ’ τη διάμεσο ΕΜ παίρνω {\rm A}{\rm M} = \displaystyle\frac{{{\rm A}\Gamma }}{2}\, \Rightarrow {\rm A}\Gamma  = 2{\rm A}{\rm M}\,(4), άρα \displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma  + \Gamma \Delta }}{{{\rm A}\Gamma }}\mathop  = \limits^{(3),(4)} \displaystyle\frac{{2{\rm Z}{\rm E}}}{{2{\rm A}{\rm M}}}\mathop  = \limits^{(2)} 1}.
logos10-sol.png
logos10-sol.png (25.67 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε το λόγο (10)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Ιαν 22, 2011 1:31 pm

ruxumuxu έγραψε:Μετά την αστραπιαία απάντηση της Φωτεινής να επαναφέρω την άσκηση δίνοντας μια γεωμετρική λύση.
Μιχάλη καλημέρα

μπορεί οι τριγωνομετρικές απαντήσεις κάποιες φορές να είναι ταχύτατες ,είναι όμως ''ψυχρές'' (Γιώργο Ρίζο μην ακούς εσύ)

αντίθετα οι Γεωμετρικές είναι ''πανέμορφες''... απλά θέλουν το χρόνο τους ...


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης