Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μάιος 10, 2009 11:34 pm

α. Tα μέσα των πλευρών τετραγώνου είναι τέσσερες από τις κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου που περιέχεται στο εσωτερικό του, όπως στο συνημμένο σχήμα.
Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό της περιοχής που περιλαμβάνεται μεταξύ του τετραγώνου και του δωδεκαγώνου είναι το ένα τρίτο του εμβαδού του δωδεκαγώνου.
β. Κανονικό δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1μ. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του είναι 3τμ.
Συνημμένα
12gono.doc
(24.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 103 φορές


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μάιος 11, 2009 11:47 am

rek2 έγραψε:α. Tα μέσα των πλευρών τετραγώνου είναι τέσσερες από τις κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου που περιέχεται στο εσωτερικό του, όπως στο συνημμένο σχήμα.
Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό της περιοχής Ω που περιλαμβάνεται μεταξύ του τετραγώνου και του δωδεκαγώνου είναι το ένα τρίτο του εμβαδού του δωδεκαγώνου.
β. Κανονικό δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1μ. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του είναι 3τμ.
έστω το κανονικό 12-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) , το τετράγωνο έχει πλευρά 2R
γνωρίζουμε ότι \boxed{\lambda^2_{2\nu}=2R(R-a_{\nu})},a_{\nu}-->απόστημα νι-γώνου,,\lambda_{2\nu}-->πλευρά 2ν-γώνου

\lambda^2_{12}=2R(R-a_{6}),R^2=a^2_{\nu}+(\frac{\lambda_{\nu}}{2})^2

\lambda_{12}=R\sqrt{2-\sqrt {3}},a_{12}=\frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}

το εμβαδό του 12-γώνου είναι E_{12}=3R^2
το εμβαδό του Ω είναι E(\Omega)=(2R)^2-E_{12}=R^2--->E(\Omega)=\frac{1}{3}E_{12}


Φωτεινή Καλδή
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Μάιος 11, 2009 1:40 pm

Μία ''οπτική'' λύση, στο τεταρτημότιο του κανονικού δωδεκαγώνου.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=22_t=1345.pdf
Κανονικό δωδεκάγωνο.
(17.87 KiB) Μεταφορτώθηκε 55 φορές


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2557
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Μάιος 11, 2009 1:50 pm

Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.

Γιωργος Μπαλογλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Μάιος 11, 2009 2:00 pm

gbaloglou έγραψε:Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.
Γιώργο με πρόλαβες.

S_{12} = 12\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\ \frac{1}{2} = 3

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μάιος 11, 2009 2:12 pm

gbaloglou έγραψε:Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.

Γιωργος Μπαλογλου
άρα έτσι μπορούμε να βρούμε το εμβαδό του 12-γώνου=6*(1/2)*R*R=3*R^2,χωρίς τυπους !!!(αφού οι κάθετες διαγώνιοι είναι ίσες με R)


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ, Τσιαλας Νικολαος και 1 επισκέπτης