Για υπομονετικούς

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Για υπομονετικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 06, 2011 3:40 pm

Σε κύκλο (O , R) η ακτίνα OC είναι κάθετη στη διάμετρο AB .

Συνδέω το μέσο M της OA με το C , και χαράσσω τον κύκλο (M , MC) που τέμνει την OB στο D .

Να δειχθεί ότι η CD είναι ίση με την πλευρά κανονικού πενταγώνου , εγγεγραμμένου στον (O , R) .
Συνημμένα
Πλευρά  πενταγώνου . png.png
Πλευρά πενταγώνου . png.png (23.44 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές


Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Για υπομονετικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Παρ Μάιος 06, 2011 6:49 pm

Είναι \displaystyle{OC = R} και \displaystyle{OM = \tfrac{R}{2}}.
Με πυθαγόρειο στο CMO: \displaystyle{C{M^2} = {R^2} + \tfrac{{{R^2}}}{4} = \tfrac{{5{R^2}}}{4} \Rightarrow CM = \tfrac{{\sqrt 5 R}}{2}}
\displaystyle{\cos \widehat {CMO} = \tfrac{{MO}}{{CM}} = \tfrac{{\sqrt 5 }}{5}}
Με νόμο συνημιτόνων στο MCD:

\displaystyle{C{D^2} = C{M^2} + M{D^2} - 2 \cdot CM \cdot MD \cdot \cos \widehat {CMO}}
\displaystyle{ = \tfrac{{5{R^2}}}{4} + \tfrac{{5{R^2}}}{4} - 2\tfrac{{5{R^2}}}{4}\tfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \tfrac{{10}}{4}{R^2} - \tfrac{{10\sqrt 5 }}{{20}}{R^2}}
\displaystyle{ = \tfrac{{10{R^2}}}{4} - \tfrac{{2\sqrt 5 }}{4}{R^2} \Rightarrow CD = \tfrac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2}R} και το ζητούμενο εδείχθη.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3128
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Για υπομονετικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 07, 2011 8:59 am

Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο MOC: MC = \sqrt {O{C^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{R}{2}} \right)}^2}}  \ldots  = \displaystyle\frac{{R\sqrt 5 }}{2}, οπότε:

OD\mathop  = \limits^{MD = MC} MC - MO = \displaystyle\frac{{R\sqrt 5 }}{2} - \displaystyle\frac{R}{2} = \displaystyle\frac{{R\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{2} = {\lambda _{10}}.

Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο COD: CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{R^2} + {\lambda _{10}}^2}  =  \ldots  = \displaystyle\frac{{R\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2} = {\lambda _5}.
Συνημμένα
Για υπομονετικούς.png
Για υπομονετικούς.png (24.16 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ, Τσιαλας Νικολαος και 1 επισκέπτης