Βρείτε το εμβαδόν (17)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το εμβαδόν (17)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 09, 2011 7:50 pm

Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με {\rm A}{\rm B} = 14,\,{\rm A}\Gamma  = 21,\,{\rm B}\Gamma  = 28 και σημείο \Delta πάνω στην {\rm A}{\rm B}, τέτοιο ώστε {\rm A}\Delta  = 6. Από το \Delta φέρουμε την κάθετη προς την \Gamma \Delta που τέμνει την {\rm B}\Gamma στο {\rm E}. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \Gamma \Delta {\rm E}.
Συνημμένα
area17.jpg
area17.jpg (48.77 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3926
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Βρείτε το εμβαδόν (17)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μάιος 09, 2011 10:48 pm

Φίλε μου Μιχάλη καλησπέρα

Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΓ έχουν κοινό ύψος από το Γ οπότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντιστοίχων (στο κοινό αυτό ύψος) βάσεών τους, δηλαδή ισχύει: \displaystyle{ 
\frac{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm A}\Delta }} 
{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{6} 
{{14}} \Rightarrow \frac{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{3} 
{7} \Rightarrow \boxed{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) = \frac{3} 
{7}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}:\left( 1 \right) 
}

Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει \displaystyle{ 
\frac{{\Delta {\rm A}}} 
{{\Delta {\rm B}}} = \frac{6} 
{8} = \frac{3} 
{4} = \frac{{21}} 
{{28}} = \frac{{\Gamma {\rm A}}} 
{{\Gamma {\rm B}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho .\delta \iota \chi .} \Gamma \Delta  
} διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{ 
\hat \Gamma  
} οπότε αν θέσουμε Ε’ το σημείο τομής της προέκτασης της ΔΕ προς το Δ με την προέκταση της ΓΑ.

τότε είναι φανερό ότι το τρίγωνο ΓΕΕ’ είναι ισοσκελές (η ΓΔ είναι ύψος και διχοτόμος) οπότε ισχύει: \displaystyle{ 
 \ldots \boxed{\left( {{\rm E}\Gamma \Delta } \right) = \left( {{\rm E}'\Gamma \Delta } \right):\left( 2 \right)} 
} και η ΓΔ θα είναι και διάμεσός του, άρα \displaystyle{ 
\Delta {\rm E}' = \Delta {\rm E} = \chi  
}

Για τα τρίγωνα
\displaystyle{ 
{\rm B}\mathop \Delta \limits^\Delta  {\rm E},{\rm A}\mathop \Delta \limits^\Delta  {\rm E}'\mathop  \to \limits^{\widehat{{\rm B}\Delta {\rm E}} = \widehat{{\rm A}\Delta {\rm E}}(\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \phi \nu )} \frac{{\left( {{\rm B}\Delta {\rm E}} \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right)}} = \frac{{\Delta {\rm B} \cdot \Delta {\rm E}}} 
{{\Delta {\rm A} \cdot \Delta {\rm E}'}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Delta {\rm E} = \Delta {\rm E}' = \chi ,\Delta {\rm B} = 8,\Delta {\rm A} = 6} \frac{{\left( {{\rm B}\Delta {\rm E}} \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right)}} = \frac{4} 
{3}:\left( 3 \right) 
}

Επίσης επειδή τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ έχουν ίδιο ύψος από την κορυφή Γ θα ισχύει:

\displaystyle{ 
\frac{{\left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}} = \frac{{\Delta {\rm B}}} 
{{{\rm A}\Delta }} = \frac{8} 
{6} = \frac{4} 
{3}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \frac{{\left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}} = \frac{{\left( {{\rm B}\Delta {\rm E}} \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right)}} = \frac{4} 
{3} \Rightarrow \frac{{\left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right) - \left( {{\rm B}\Delta {\rm E}} \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) - \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right)}} = \frac{4} 
{3} \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
\frac{{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) - \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right)}} = \frac{4} 
{3}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) + \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right) = \left( {{\rm E}'\Gamma \Delta } \right)\mathop  = \limits^{\left( 2 \right)} \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) \Rightarrow \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}'} \right) = \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) - \left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}  \ldots \frac{{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right)}} 
{{\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) - \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) + \left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}} = \frac{4} 
{3} \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
\frac{{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right)}} 
{{2\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) - \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right)}} = \frac{4} 
{3} \Rightarrow 3\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = 8\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) - 4\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) \Rightarrow \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{8} 
{7}\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}  
} \displaystyle{ 
\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{8} 
{7} \cdot \frac{3} 
{7}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) \Rightarrow \boxed{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{{24}} 
{{49}}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}:\left( 4 \right) 
}

Όμως το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι υπολογίσιμο (από τον τύπο του Ήρωνα αφού είναι γνωστές οι πλευρές του). Είναι

\displaystyle{ 
\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \sqrt {\tau \left( {\tau  - \alpha } \right)\left( {\tau  - \beta } \right)\left( {\tau  - \gamma } \right)} \mathop  = \limits^{\tau  = \frac{{28 + 21 + 14}} 
{2} = \frac{{63}} 
{2}} \sqrt {\frac{{63}} 
{2}\left( {\frac{{63}} 
{2} - 28} \right)\left( {\frac{{63}} 
{2} - 21} \right)\left( {\frac{{63}} 
{2} - 14} \right)}  \Rightarrow  \ldots \boxed{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{147}} 
{4}\sqrt {15} }:\left( 5 \right) 
}

Οπότε \displaystyle{ 
\left( 4 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{{24}} 
{{49}} \cdot \frac{{147}} 
{4} \cdot \sqrt {15}  \Rightarrow \boxed{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = 18\sqrt {15} } 
}


Φιλικά

Στάθης
Συνημμένα
εμβαδόν χ17.png
εμβαδόν χ17.png (20.44 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4347
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε το εμβαδόν (17)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μάιος 10, 2011 12:01 am

Μια τριγωνομετρική προσέγγιση:
08-04-2011 Γεωμετρία.jpg
08-04-2011 Γεωμετρία.jpg (27.57 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές
Από Ν. Συνημιτόνων στο ΑΒΓ:
\displaystyle 
{\rm B}\Gamma ^2  = {\rm A}{\rm B}^2  + {\rm A}\Gamma ^2  - 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Gamma  \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow 28^2  = 21^2  + 14^2  - 2 \cdot 21 \cdot 14 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A}
\displaystyle 
 \Leftrightarrow 16 = 13 - 12 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} = -\frac{1}{4} .


Από Ν. Συνημιτόνων στο ΑΔΓ:
\displaystyle 
\Delta \Gamma ^2  = {\rm A}\Delta ^2  + {\rm A}\Gamma ^2  - 2{\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}\Gamma  \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow  
\\ 
\Delta \Gamma ^2  = 36 + 21^2  + 2 \cdot 6 \cdot 21 \cdot \frac{1}{4} = 540 \Leftrightarrow \Gamma \Delta  = 6\sqrt {15}

Από Ν. Συνημιτόνων στο ΑΒΓ:
\displaystyle 
{\rm A}\Gamma ^2  = {\rm A}{\rm B}^2  + {\rm B}\Gamma ^2  - 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma  \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow 21^2  = 28^2  + 14^2  - 2 \cdot 28 \cdot 14 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B}
\displaystyle 
 \Leftrightarrow 9 = 20 - 16 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{11}}{{16}}

Φέρνουμε τη ΔΛ κάθετη στη ΒΓ.

Στο ΒΔΛ: \displaystyle 
\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm B}\Lambda }}{{{\rm B}\Delta }} \Rightarrow {\rm B}\Lambda  = 8 \cdot \frac{{11}}{{16}} = 5,5 \Rightarrow \Gamma \Lambda  = 22,5

Στο ΓΔΛ: \displaystyle 
\sigma \upsilon \nu \Gamma _1  = \frac{{\Gamma \Lambda }}{{\Gamma \Delta }} = \frac{{22,5}}{{4\sqrt {15} }} ,

οπότε στο ΓΔΕ: \displaystyle 
\sigma \upsilon \nu \Gamma _1  = \frac{{\Gamma \Delta }}{{\Gamma {\rm E}}} \Rightarrow \Gamma {\rm E} = \frac{{540}}{{22,5}} = 24 ,

οπότε, από Πυθ. Θεώρημα: \displaystyle 
\Delta {\rm E}^2  = 576 - 540 = 36 \Rightarrow \Delta {\rm E} = 6 , άρα \displaystyle 
\left( {\Delta \Gamma {\rm E}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt {15}  = 18\sqrt {15}


Math Rider
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Βρείτε το εμβαδόν (17)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math Rider » Τρί Μάιος 10, 2011 4:02 pm

Μια ακόμα προσέγγιση (λιγότερο κομψή):
Εμβαδό.png
Εμβαδό.png (22.76 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές
Επειδή το τρίγωνο \displaystyle{ 
\Gamma \Delta {\rm E} 
} είναι ορθογώνιο το εμβαδό του είναι \displaystyle{ 
(\Gamma \Delta {\rm E}) = \frac{1}{2} \cdot \Delta {\rm E} \cdot \Gamma \Delta  
}. Θα υπολογίσουμε λοιπόν τα \displaystyle{ 
\Delta {\rm E} 
} και \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  
}.

(Για το \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  
}):
Επειδή ισχύει \displaystyle{ 
\frac{{\Delta {\rm A}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \frac{{21}}{{28}} = \frac{{\Gamma {\rm A}}}{{\Gamma {\rm B}}} 
}, η \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  
} είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{ 
\Gamma  
}.

Έστω λοιπόν (για ευκολία) \displaystyle{ 
\alpha  = {\rm B}\Gamma  = 28,\beta  = {\rm A}\Gamma  = 21,\gamma  = {\rm A}{\rm B} = 14 
}και \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  = \delta _\gamma   
}

Τότε είναι \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  = \delta _\gamma   = \frac{{2\alpha \beta }}{{\alpha  + \beta }}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2} 
} (1) (μια απόδειξη του τύπου αυτού εδώ)

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο \displaystyle{ 
{\rm A}{\rm B}\Gamma  
} έχουμε

\displaystyle{ 
\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{\alpha ^2  + \beta ^2  - \gamma ^2 }}{{2\alpha \beta }} = \frac{{28^2  + 21^2  - 14^2 }}{{2 \cdot 28 \cdot 21}} = \frac{{1029}}{{1176}} = \frac{7}{8} 
}

Οπότε \displaystyle{ 
\sigma \upsilon \nu ^2 \frac{\Gamma }{2} = \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu \Gamma }}{2} = \frac{{1 + \frac{7}{8}}}{2} = \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{4} 
}

Έτσι από την (1) έχουμε \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  = \delta _\gamma   = \frac{{2\alpha \beta }}{{\alpha  + \beta }}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2} = \frac{{2 \cdot 28 \cdot 21}}{{28 + 21}} \cdot \frac{{\sqrt {15} }}{4} = \frac{{1176}}{{196}}\sqrt {15}  \Rightarrow \Gamma \Delta  = 6\sqrt {15}  
} (2)

(Για το \displaystyle{ 
\Delta {\rm E} 
}):
Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο \displaystyle{ 
{\rm A}{\rm B}\Gamma  
} έχουμε

\displaystyle{ 
\sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{\beta ^2  + \gamma ^2  - \alpha ^2 }}{{2\beta \gamma }} = \frac{{21^2  + 14^2  - 28^2 }}{{2 \cdot 21 \cdot 14}} =  - \frac{{147}}{{588}} =  - \frac{1}{4} 
}. Άρα \displaystyle{ 
\sigma \upsilon \nu ^2 {\rm A} = \frac{1}{{16}} 
}

Και επομένως \displaystyle{ 
\eta \mu {\rm A} = \sqrt {1 - \sigma \upsilon \nu ^2 {\rm A}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{16}}}  = \sqrt {\frac{{15}}{{16}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4} 
}

Είναι τώρα \displaystyle{ 
({\rm A}\Delta \Gamma ) = \frac{1}{2} \cdot \eta \mu {\rm A} \cdot {\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}\Gamma  = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {15} }}{4} \cdot 6 \cdot 21 = \frac{{63}}{4}\sqrt {15}  
}

Επίσης \displaystyle{ 
\frac{{({\rm B}\Delta \Gamma )}}{{({\rm A}\Delta \Gamma )}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \eta \mu \frac{\Gamma }{2} \cdot \Gamma \Delta  \cdot {\rm B}\Gamma }}{{\frac{1}{2} \cdot \eta \mu \frac{\Gamma }{2} \cdot \Gamma \Delta  \cdot {\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{28}}{{21}} = \frac{4}{3} 
}. Επομένως \displaystyle{ 
({\rm B}\Delta \Gamma ) = \frac{4}{3}({\rm A}\Delta \Gamma ) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{63}}{4}\sqrt {15}  = 21\sqrt {15}  
}

Έστω \displaystyle{ 
{\rm B}{\rm Z} 
} το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά \displaystyle{ 
\Gamma \Delta  
} (βλέπε σχήμα) τότε
\displaystyle{ 
({\rm B}\Delta \Gamma ) = 21\sqrt {15}  \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \Gamma \Delta  \cdot {\rm B}{\rm Z} = 21\sqrt {15}  \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt {15}  \cdot {\rm B}{\rm Z} = 21\sqrt {15}  \Leftrightarrow {\rm B}{\rm Z} = 7 
}

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \displaystyle{ 
{\rm B}{\rm Z}\Gamma  
}παίρνουμε \displaystyle{ 
\Gamma {\rm Z} = \sqrt {{\rm B}\Gamma ^2  - {\rm B}{\rm Z}^2 }  = \sqrt {28^2  - 7^2 }  = \sqrt {21 \cdot 35}  = \sqrt {7^2  \cdot 15}  = 7\sqrt {15}  
}

Και επειδή τα τρίγωνα \displaystyle{ 
{\rm B}{\rm Z}\Gamma  
} και \displaystyle{ 
\Gamma \Delta {\rm E} 
} είναι όμοια (ορθογώνια με \displaystyle{ 
\Gamma _1  
} κοινή) είναι
\displaystyle{ 
\frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{\Gamma \Delta }} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{\Delta {\rm E}}} \Rightarrow \Delta {\rm E} = \frac{{{\rm B}{\rm Z} \cdot \Gamma \Delta }}{{\Gamma {\rm Z}}} \Rightarrow \Delta {\rm E} = \frac{{7 \cdot 6\sqrt {15} }}{{7\sqrt {15} }} \Rightarrow \Delta {\rm E} = 6 
} (3)

Επομένως \displaystyle{ 
(\Gamma \Delta {\rm E}) = \frac{1}{2} \cdot \Delta {\rm E} \cdot \Gamma \Delta  = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt {15}  = 18\sqrt {15}  
}


Νίκος Κ.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το εμβαδόν (17)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 10, 2011 9:00 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας. Να δώσω μια παραλλαγή της λύσης του Στάθη.

Πάνω στη {\rm B}\Gamma παίρνουμε τμήμα \Gamma {\rm Z} = \Gamma {\rm A} = 21. Εφόσον \displaystyle\frac{{\Gamma {\rm A}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta {\rm B}}} η \Gamma \Delta είναι διχοτόμος της {\rm A}\widehat \Gamma {\rm B}, τα τρίγωνα {\rm A}\Gamma \Delta ,\,\Delta \Gamma {\rm Z} είναι ίσα από \left( {\Pi  - \Gamma  - \Pi } \right), οπότε \Delta {\rm Z} = 6.

Θέτοντας {\rm A}\widehat \Delta \Gamma  = {\rm Z}\widehat \Delta \Gamma  = {90^ \circ } - x θα είναι {\rm E}\widehat \Delta {\rm Z} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm B} = x, δηλαδή η \Delta {\rm E} είναι διχοτόμος της {\rm B}\widehat \Delta {\rm Z}.

Από το σύστημα \left\{ \begin{array}{l} 
\displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}{\rm Z}}} = \displaystyle\frac{8}{6}\\ 
{\rm B}{\rm E} + {\rm E}{\rm Z} = 7 
\end{array} \right. παίρνουμε {\rm B}{\rm E} = 4,\,{\rm E}{\rm Z} = 3. Φέρω την \Delta {\rm K} \bot {\rm B}\Gamma και θέτω {\rm P} = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm K}}}{2} (τα εμβαδά των τριγώνων αναγράφονται στο σχήμα).

Για το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma θα ισχύει: 49{\rm P}\mathop  = \limits^{{\rm H}\rho \omega \nu \alpha } \displaystyle\frac{{147\sqrt {15} }}{4} \Leftrightarrow {\rm P} = \displaystyle\frac{{3\sqrt {15} }}{4}, οπότε {\colorbox{yellow}{\color{black}\boxed{\left( {\Gamma \Delta {\rm E}} \right) = 24{\rm P} = 18\sqrt {15}}}}} .
Συνημμένα
area17-sol.png
area17-sol.png (22.91 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες