Βρείτε το λόγο (12)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το λόγο (12)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μάιος 11, 2011 2:34 pm

Σε οξυγώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma φέρουμε το ύψος {\rm A}\Delta και πάνω στο ύψος παίρνουμε σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε: {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma  = 3x,\,{\rm E}\widehat \Gamma {\rm B} = 5x και {\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = {\rm E}\widehat \Gamma {\rm A} = 7x. Βρείτε το λόγο \displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }}.
Συνημμένα
logos12.png
logos12.png (52.55 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5317
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το λόγο (12)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 11, 2011 4:02 pm

Από το γεγονός οτι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΕΓ είναι ίσοι και την συμμετρία τους ως πρός τον φορέα του ύψους ΑΔ, έχουμε άμεσα την γωνία x=6-μοίρες. Επομένως το ΕΓ εκφράζεται με βάση το ΕΔ (<ΕΓΔ=30-μοίρες) και επίσης το ΒΕ με το διπλάσιο του ΕΔ αφού το 2ΕΔ καθίσταται πλευρά κανονικού δεκαγώνου ακτίνας ΒΕ.
Έπομένως διαιρούντες κατά μέλη και μιά που απλοποιείται το ΕΔ, θα έχουμε τον λόγο που ζητάται.

S.E.Louridas
Συνημμένα
123R.png
123R.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε το λόγο (12)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Μάιος 11, 2011 5:29 pm

\displaystyle{\triangle: E \Delta \Gamma \rightarrow \sin 5x=\frac{E\Delta}{E\Gamma}}

\displaystyle{\triangle: EB \Delta  \rightarrow \sin 3x=\frac{E\Delta}{EB}}

άρα \displaystyle{\frac{\sin 5x}{ \sin 3x}=\frac{EB}{E\Gamma},\ \ (1)}

---------
με νόμο ημιτόνων
\displaystyle{\triangle: AE \Gamma \rightarrow \frac{AE}{\sin 7x}=\frac{E\Gamma}{\cos 12x}}

\displaystyle{\triangle: AEB \rightarrow \frac{AE}{\sin 7x}=\frac{EB}{\cos 10x}}

άρα \displaystyle{\frac{\cos 10x}{ \cos 12x}=\frac{EB}{E\Gamma},\ \ (2)}
-------------
\displaystyle{(1),(2)\Rightarrow \frac{\sin 5x}{ \sin 3x}=\frac{\cos 10x}{ \cos 12x}}

\displaystyle{2 \sin 5x \cos 12x=2 \sin 3x \cos 10x \Leftrightarrow \sin 17x-\sin 7x=\sin 13x-\sin 7x}

\displaystyle{17x=\pi-13x \Rightarrow x=\frac{\pi}{30}}
-------------
επομένως \displaystyle{(1)\Rightarrow\frac{EB}{E\Gamma}=\frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{10})}=\frac{\sqrt 5+1}{2}}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το λόγο (12)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μάιος 13, 2011 5:08 pm

Να ευχαριστήσω τον Σωτήρη και τη Φωτεινή και να δώσω άλλη μια λύση.

Πάνω στην πλευρά {\rm B}\Gamma παίρνω τμήμα {\rm Z}\Delta  = \Gamma \Delta και δημιουργείται το ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}{\rm Z}\Gamma, με {\rm A}\Delta μεσοκάθετο της {\rm Z}\Gamma. Θα είναι \Delta \widehat {\rm Z}{\rm E} = \Delta \widehat \Gamma {\rm E} = 5x,\,{\rm E}\widehat {\rm Z}{\rm A} = {\rm E}\widehat \Gamma {\rm A} = 7x και αφού {\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = 7x το τετράπλευρο {\rm E}{\rm Z}{\rm B}{\rm A} θα είναι εγγράψιμο, συνεπώς {\rm Z}\widehat {\rm B}{\rm E} = {\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm E} = 3x. Από το ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm Z}\Delta θα ισχύει: 3x + 5x + 7x = {90^ \circ } \Rightarrow x = {6^ \circ }.

Φέρω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου {\rm E}{\rm B}\Gamma με περίκεντρο {\rm O}. Το τρίγωνο {\rm O}{\rm B}{\rm E} θα είναι ισόπλευρο γιατί {\rm E}\widehat \Gamma {\rm B} = {30^ \circ } και το τρίγωνο {\rm O}{\rm E}\Gamma χρυσό ισοσκελές τρίγωνο \left( {{{36}^ \circ }{{,72}^ \circ }{{,72}^ \circ }} \right) γιατί {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma  = {18^ \circ }. Ο ζητούμενος λόγος θα είναι ίσος με \displaystyle\frac{\kappa }{\lambda } = \displaystyle\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \varphi .
Συνημμένα
logos12-sol.png
logos12-sol.png (22.42 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης