Βρείτε τη γωνία x (82)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία x (82)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 19, 2011 2:37 pm

Σε τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \left( {{{75}^ \circ }{{,80}^ \circ }{{,25}^ \circ }} \right) κατασκευάζουμε το τρίγωνο \Delta {\rm B}\Gamma \left( {{{160}^ \circ }{{,15}^ \circ }{{,5}^ \circ }} \right), με \Delta εσωτερικό σημείο του {\rm A}{\rm B}\Gamma. Βρείτε τη γωνία x = {\rm B}\widehat {\rm A}\Delta.
Συνημμένα
x82.jpg
x82.jpg (72.53 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 663
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (82)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Παρ Μάιος 20, 2011 8:59 am

Από το νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα A\varDelta B , A\varDelta\varGamma , B\varDelta\varGamma έχουμε:

\dfrac{B\varDelta}{\sin x}=\dfrac{A\varDelta}{\sin 65^{\circ}} \Rightarrow \dfrac{B\varDelta}{A\varDelta}=\dfrac{\sin x}{\sin 65^{\circ}}.

Ακόμα \dfrac{A\varDelta}{\varDelta\varGamma}=\dfrac{\sin 20^{\circ}}{\sin (75^{\circ}-x)} και \dfrac{\varDelta\varGamma}{B\varDelta}=\dfrac{\sin 15^{\circ}}{\sin 5^{\circ}}.

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις τρεις ισότητες:

\dfrac{\sin x}{\sin 65^{\circ}}\cdot\dfrac{\sin 20^{\circ}}{\sin (75^{\circ}-x)}\cdot\dfrac{\sin 15^{\circ}}{\sin 5^{\circ}}=1 \Rightarrow

\sin x\cdot\sin 20^{\circ}\cdot\sin 15^{\circ}=\sin 65^{\circ}\cdot\sin (75^{\circ}-x)\cdot\sin 5^{\circ} \Rightarrow

\sin x (\cos 5^{\circ}-\cos 35^{\circ})=\sin (75^{\circ}-x)(\cos 60^{\circ}-\cos 70^{\circ}) \Rightarrow

2\sin x \cos 5^{\circ}-2\sin x\cos 35^{\circ}=\sin (75^{\circ}-x)-2\sin (75^{\circ}-x)\cos 70^{\circ} \Rightarrow

\sin (x+5^{\circ})+\sin (x-5^{\circ})- \sin (x+35^{\circ})-\sin (x-35^{\circ}) = \sin (75^{\circ}-x)-\sin (145^{\circ}-x)-\sin (5^{\circ}-x) \Rightarrow

\sin (x+5^{\circ})-\sin (x-35^{\circ}) = \sin (75^{\circ}-x) \Rightarrow

\sin (x+5^{\circ})-\sin (75^{\circ}-x) = \sin (x-35^{\circ})  \Rightarrow

2\sin (x-35^{\circ})\cos 40^{\circ} = \sin (x-35^{\circ})  \Rightarrow

\sin (x-35^{\circ})(2\cos 40^{\circ}-1) = 0  \Rightarrow

\sin (x-35^{\circ}) = 0  \Rightarrow

x=35^{\circ}


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3925
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Βρείτε τη γωνία x (82)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μάιος 21, 2011 11:16 pm

Αγαπητέ μου φίλε, καλησπέρα. Θα ήθελα σήμερα να με-σε ταλαιπωρήσω γεωμετρικά, θα μου το επιτρέψεις

Ας πάμε "περιφερειακά"
Θεωρούμε την κάθετη στο σημείο \displaystyle{ 
C 
} στην \displaystyle{ 
BC 
} η οποία τέμνει την προέκταση της \displaystyle{ 
BD 
} στο σημείο \displaystyle{ 
E 
} και έστω \displaystyle{ 
K = BE \cap AC 
}. Τότε ισχύει: \displaystyle{ 
\widehat{ECA} = 90^0  - \widehat{ACB} = 90^0  - 25^0  = 65^0 \mathop  = \limits^{(\upsilon \pi \theta \varepsilon \sigma \eta )} \widehat{EBA} \Rightarrow  
} το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ABCE 
} είναι εγγράψιμο σε κύκλο με διάμετρο την \displaystyle{ 
BE 
} (έστω τον \displaystyle{ 
\left( {C_{ABCEZ} } \right) 
}). Αν η κάθετη από το \displaystyle{ 
C 
} στην διάμετρο \displaystyle{ 
BE 
} του κύκλου αυτού τέμνει τη διάμετρο στο \displaystyle{ 
M 
} και τον κύκλο στο \displaystyle{ 
Z 
} τότε προφανώς για τη χορδή του \displaystyle{ 
CZ \bot BE 
} ισχύει ότι \displaystyle{ 
BE 
} είναι μεσοκάθετος της \displaystyle{ 
CZ 
} οπότε (λόγω συμμετρίας) είναι \displaystyle{ 
\widehat{EBZ} = \widehat{CBE} = 15^0 :\left( 1 \right) 
}

Έστω \displaystyle{ 
S = BZ \cap AE 
} τότε η γωνία \displaystyle{ 
\widehat{ASB} 
} είναι εξωτερική του τριγώνου \displaystyle{ 
SBE 
} οπότε θα ισχύει: \displaystyle{ 
\widehat{ASB} = \widehat{ZBE} + \widehat{AEB}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right),\widehat{AEB} = \widehat{ACB} = 25^0 } 15^0  + 25^0  \Rightarrow \boxed{\widehat{ASB} = 40^0 }:\left( 2 \right) 
} και \displaystyle{ 
\widehat{AKB} 
} είναι εξωτερική του τριγώνου \displaystyle{ 
KBC 
} οπότε θα ισχύει: \displaystyle{ 
\widehat{AKB} = \widehat{KCB} + \widehat{KBC} = 25^0  + 15^0  \Rightarrow \boxed{\widehat{AKB} = 40^0 }:\left( 3 \right) 
}
Από τις σχέσεις \displaystyle{ 
\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat{ASB} = \widehat{AKB} 
} οπότε το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ABKS 
} είναι εγγράψιμο σε κύκλο (έστω τον \displaystyle{ 
\left( {C_{ABKS} } \right) 
}) ο οποίος έχει διάμετρο την \displaystyle{ 
BS 
} (αφού \displaystyle{ 
\widehat{BAE} = 90^0  \Rightarrow \widehat{BAS} = 90^0  
} (εγγεγραμμένη στη διάμετρο \displaystyle{ 
BE 
} του \displaystyle{ 
\left( {C_{ABCEZ} } \right) 
}).
Αν \displaystyle{ 
T 
} είναι το κέντρο του \displaystyle{ 
\left( {C_{ABKS} } \right) 
} (δηλαδή όπως είπαμε το μέσο της \displaystyle{ 
AS 
})τότε προφανώς ισχύει: \displaystyle{ 
\left( 4 \right):\boxed{TS = TK} = TA = TB 
} και

\displaystyle{ 
\widehat{ATB}\mathop  = \limits^{\varepsilon \pi \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \nu \eta } 2\widehat{AKB}\mathop  = \limits^{\left( 3 \right)} 2 \cdot 40^0  = 80^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\pi \alpha \rho \alpha \pi \lambda \eta \rho \omega \mu } \boxed{\widehat{AT{\rm Z}} = 100^0 }:\left( 5 \right) 
}
Προφανώς από το εγγράψιμο \displaystyle{ 
ABCZ \Rightarrow \widehat{ACZ} = \widehat{ZBA} = 50^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{KM\mathop  \bot \limits_{\mu \sigma o} ZC} \boxed{\widehat{ACZ} = \widehat{KZC} = 50^0 }:\left( 6 \right) 
}.
Έτσι και η γωνία \displaystyle{ 
\widehat{AKZ} 
} σαν εξωτερική στο (ισοσκελές) τρίγωνο \displaystyle{ 
KZC 
} θα είναι \displaystyle{ 
\widehat{AKZ} = 2\widehat{ACZ} = 2 \cdot 50^0  \Rightarrow \boxed{\widehat{AKZ} = 100^0 }:\left( 7 \right) 
}.
Από \displaystyle{ 
\left( 6 \right),\left( 7 \right) \Rightarrow \boxed{\widehat{AT{\rm Z}} = \widehat{AKZ} = 100^0 } 
} οπότε το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ATKZ 
} είναι εγγράψιμο σε κύκλο (έστω τον \displaystyle{ 
\left( {C_{ATKZ} } \right) 
}). Αν \displaystyle{ 
L 
} είναι το κέντρο του κύκλου \displaystyle{ 
\left( {C_{ATKZ} } \right) 
} τότε προφανώς ισχύει: \displaystyle{ 
LA = \boxed{LK = LZ}:\left( {10} \right) 
}.
Επίσης ισχύει: \displaystyle{ 
\widehat{KLZ} = 2\widehat{KAZ} = 2 \cdot \left( {15^0  + 15^0 } \right) = 60^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {10} \right) \Rightarrow LK = LZ}  
} το τρίγωνο \displaystyle{ 
LZK 
} είναι ισόπλευρο (ισοσκελές με μία γωνία \displaystyle{ 
60^0  
}) οπότε ισχύει: \displaystyle{ 
LZ = LA = LK = KZ\mathop  = \limits^{KM\mathop  \bot \limits_{\mu \sigma o} ZC} KC:\left( {11} \right) 
}.
Στο τρίγωνο \displaystyle{ 
DBC 
} η γωνία \displaystyle{ 
\widehat{KDC} 
} είναι εξωτερική οπότε \displaystyle{ 
\widehat{KDC} = \widehat{DBC} + \widehat{DCB} = 15^0  + 5^0  = 20^0 \mathop  = \limits^{\upsilon \pi \theta \varepsilon \sigma \eta } \widehat{KCD} \Rightarrow  
} \displaystyle{ 
\widehat{KDC} = \widehat{KCD}\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle KDC(\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varsigma )} \boxed{KC = KD}:\left( {12} \right) 
}
Από \displaystyle{ 
\left( {11} \right),\left( {12} \right) \Rightarrow LZ = LA = KZ = KC = \boxed{KD = LK}\left(  *  \right) 
}
Επίσης είναι
\displaystyle{ 
\widehat{AZT}\mathop  = \limits^{AT = TK \Rightarrow \tau o\xi .AT = \tau o\xi .TK} \widehat{TZK} = \widehat{BZC} - \widehat{KZC}\mathop  = \limits^{ABCZ(\varepsilon \gamma \gamma \rho \psi \iota \mu o)} \widehat{BAC} - \widehat{KZC}\mathop  = \limits^{\upsilon \pi \theta \varepsilon \sigma \eta } 75^0  - 50^0  = 25^0  
}

\displaystyle{ 
 \Rightarrow \widehat{ALK}\mathop  = \limits^{\varepsilon \pi \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu .} 2\widehat{AZK} = 2 \cdot \left( {25^0  + 25^0 } \right) = 100^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\Delta LKA(\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varsigma )}  
} \displaystyle{ 
\widehat{LKA} = 40^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \boxed{\widehat{LKA} = \widehat{AKD} = 40^0 }:\left( {13} \right) 
}

Τέλος συγκρίνουμε τα τρίγωνα \displaystyle{ 
ALK,ADK 
}.

Έχουμε: \displaystyle{ 
\left\{ \begin{gathered} 
  A\mathop L\limits^\Delta  K \hfill \\ 
  A\mathop D\limits^\Delta  K \hfill \\  
\end{gathered}  \right\}\left\{ \begin{gathered} 
  AK = AK \\  
  \widehat{LKA} = \widehat{DKA} = 40^0 :\left( {13} \right) \\  
  LK = KD\left(  *  \right) \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } A\mathop L\limits^\Delta  K = A\mathop D\limits^\Delta  K \Rightarrow DA = DK\mathop  \Rightarrow \limits^{\Delta DKA} \widehat{KAD} = \widehat{AKD} = 40^0  
} \displaystyle{ 
 \Rightarrow \hat x = \widehat{BAC} - \widehat{KAD} = 75^0  - 40^0  \Rightarrow \boxed{\hat x = 35^0 } 
}


Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια στο π.μ
Φιλικότατα
Στάθης
Συνημμένα
1.png
1.png (105.46 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (82)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Μάιος 22, 2011 10:27 pm

Ευχαριστώ τους φίλους Στράτη και Στάθη για τις λύσεις τους. Η αγάπη για τις Γεωμετρικές προσεγγίσεις δεν κρύβεται, οπότε θα δώσω άλλη μία.

Έστω {\rm O} το περίκεντρο του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma (εσωτερικό του σημείο εφόσον είναι οξυγώνιο). Αφού \widehat {\rm A} = {75^ \circ } θα είναι {\rm B}\widehat {\rm O}\Gamma  = {150^ \circ } και \Gamma \widehat {\rm B}{\rm O} = {\rm B}\widehat \Gamma {\rm O} = {15^ \circ }, οπότε τα σημεία {\rm B},\Delta ,{\rm O} είναι συνευθειακά.

Θα είναι {\rm O}\widehat \Delta \Gamma  = {20^ \circ } (σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου \Delta {\rm B}\Gamma) και από τα ισοσκελή τρίγωνα {\rm O}{\rm B}\Gamma ,\,{\rm O}\Gamma {\rm A} και τις γωνίες της εκφώνησης θα ισχύει: {\rm O}\widehat \Gamma \Delta  = {\rm O}\widehat \Gamma {\rm A} = {\rm O}\widehat {\rm A}\Gamma  = {10^ \circ }.

Πάνω στην {\rm A}\Gamma παίρνουμε σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε {\rm A}{\rm E} = {\rm E}{\rm O}. Θα είναι {\rm O}\widehat {\rm E}\Gamma  = {20^ \circ } (σαν εξωτερική του τριγώνου {\rm E}{\rm A}{\rm O}) και από την ισότητα των τριγώνων {\rm O}\Delta \Gamma ,{\rm O}{\rm E}\Gamma \,\left( {\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \right) θα ισχύει {\rm O}\Delta  = {\rm O}{\rm E}. Εφόσον \Delta \widehat {\rm O}{\rm E} = {360^ \circ } - 2 \cdot {150^ \circ } = {60^ \circ } το τρίγωνο {\rm O}\Delta {\rm E} είναι ισόπλευρο.

Εφόσον {\rm E}{\rm A} = {\rm E}{\rm O} = {\rm E}\Delta, το {\rm E} είναι το περίκεντρο του τριγώνου {\rm A}\Delta {\rm O}. Έτσι \Delta \widehat {\rm A}{\rm O} = \displaystyle\frac{{{{60}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ } και x = {75^ \circ } - \left( {{{30}^ \circ } + {{10}^ \circ }} \right) = {35^ \circ }.
Συνημμένα
x82-sol.jpg
x82-sol.jpg (44.3 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (82)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιούλ 29, 2011 8:12 pm

Χαζεύοντας το αρχικό σχήμα και την εκφώνηση αναρωτήθηκα γιατί δεν αρκεί το άθροισμα γωνίων τριγώνου σε κάθε τρίγωνο για να λυθεί η παραπάνω άσκηση;
Το δοκίμασα κι απαλείφεται η αγνωστη γωνία x.
Από την άλλη η άγνωστη γωνία x είναι μονοσήμαντα ορισμένη ως σημείο τομής των B\Delta και \Gamma \Delta που σχηματίζουν συγκεκριμένες γωνίες με την B\Gamma, στο ημιεπίπεδο της B\Gamma που περιέχει το σημείο A.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης