Τελικά αναζητούμε το μικρότερο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τελικά αναζητούμε το μικρότερο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 28, 2011 9:59 pm

Επί των πλευρών AB , BC , τετραγώνου ABCD , πλευράς a , παίρνω σημεία E , Z , ώστε AE=BZ .

1) Να δειχθεί ότι ο κύκλος c που ορίζουν τα σημεία E, B, Z , διέρχεται από το κέντρο του τετραγώνου .

2) Να βρεθεί η θέση του E , ώστε οι κύκλοι c και (E , EB) , να είναι ίσοι .

3) Αν S το (άλλο ) σημείο τομής των δύο κύκλων , υπολογίστε το τμήμα OS
Συνημμένα
Τομή  κύκλων . png.png
Τομή κύκλων . png.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Ιουν 03, 2011 12:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3820
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τελικά αναζητούμε το μικρότερο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μάιος 28, 2011 11:46 pm

1) (σχήμα (1)).Συγκρίνουμε τα τρίγωνα

\displaystyle{ 
\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle OZC \hfill \\ 
  \vartriangle OEB \hfill \\  
\end{gathered}  \right\}\left\{ \begin{gathered} 
  OC = OB = \frac{d} 
{2} = \frac{{\alpha \sqrt 2 }} 
{2} \\  
  \widehat{ZCO} = \widehat{EBO} = 45^0  \\  
  CZ = \alpha  - BZ\mathop  = \limits^{BZ = AE} \alpha  - AE = EB \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } \vartriangle OZC = \vartriangle OEB \Rightarrow \widehat{ZOC} = \widehat{EOB} \Rightarrow  
}


\displaystyle{ 
\widehat{ZOC} + \widehat{BOZ} = \widehat{EOB} + \widehat{BOZ} \Rightarrow \widehat{BOC} = \widehat{EOZ}\mathop  \Rightarrow \limits^{AC \bot BD \Rightarrow \widehat{BOC} = 90^0 }  
} \displaystyle{ 
\widehat{EOZ} = 90^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat{EBZ} = 90^0 } \boxed{\widehat{EOZ} + \widehat{EBZ} = 180^0 }:\left( 1 \right) 
}

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \displaystyle{ 
EBZO 
} είναι εγγράψιμο σε κύκλο δηλαδή ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{ 
\vartriangle EBZ 
} διέρχεται από το κέντρο \displaystyle{ 
O 
} του τετραγώνου \displaystyle{ 
ABCD 
}

2) (σχήμα (2)) Προφανώς το κέντρο του κύκλου \displaystyle{ 
\left( C \right) 
} (περιγεγραμμένου στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ 
\vartriangle EBZ 
} είναι το μέσο (έστω \displaystyle{ 
K 
}) της υποτείνουσας \displaystyle{ 
EZ 
}

Για να είναι λοιπόν οι κύκλοι \displaystyle{ 
\left( C \right) 
} και \displaystyle{ 
\left( {E,EB} \right) 
} ίσοι πρέπει και αρκεί \displaystyle{ 
\boxed{EB = EK = \frac{{EZ}} 
{2}} 
}

Στο ορθογώνιο λοιπόν τρίγωνο \displaystyle{ 
\vartriangle EBZ 
} πρέπει να ισχύει \displaystyle{ 
\boxed{EZ = 2EB}:\left( 1 \right) 
} και από το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε εύκολα ότι: \displaystyle{ 
\boxed{ZB = EB\sqrt 3 }:\left( 2 \right) 
}

Επειδή ισχύει: \displaystyle{ 
AE + EB = \alpha \mathop  \Rightarrow \limits^{AE = ZB,\left( 1 \right),\left( 2 \right)} EB\sqrt 3  + EB = \alpha  \Rightarrow  \ldots EB = \frac{\alpha } 
{{\sqrt 3  + 1}} \Rightarrow \boxed{\rho  = EB = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2}} 
} όπου \displaystyle{ 
\rho  
} η ακτίνα των ίσων κύκλων

3) (σχήμα (2)) Υποθέτω ότι το ερώτημα αυτό αναφέρεται με την ισχύ του 2) ερωτήματος (δηλαδή όταν οι κύκλοι είναι ίσοι)…

Εύκολα βρίσκουμε ότι: \displaystyle{ 
\widehat{OKZ}\mathop  = \limits^{\varepsilon \pi \kappa  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho .} 2 \cdot \widehat{ZBO}\mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat{ZBO} = 45^0 } \widehat{OKZ} = 90^0  
} και \displaystyle{ 
\vartriangle SKE 
} ισόπλευρο άρα \displaystyle{ 
\widehat{EKS} = 60^0  
} οπότε τελικά \displaystyle{ 
\widehat{OKS} = 30^0  
} δηλαδή το \displaystyle{ 
OS 
}

είναι πλευρά κανονικού 12- γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας \displaystyle{ 
\rho  = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2} 
}

Εφόσον είναι \displaystyle{ 
\alpha _6  = \frac{{\frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2}\sqrt 3 }} 
{2} = \frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}} 
{4} 
} από τον τύπο του Αρχιμήδη είναι:
\displaystyle{ 
OS = \lambda _{12}  = \sqrt {2\rho \left( {\rho  - \alpha _6 } \right)} \mathop  \Rightarrow \limits^{\alpha _6  = \frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}} 
{4},\rho  = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2}}  = \sqrt {2\frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2}\left( {\frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2} - \frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}} 
{4}} \right)}  =  
} \displaystyle{ 
\sqrt {2\frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2}\left( {\frac{{\alpha \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} 
{2} - \frac{{\alpha \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}} 
{4}} \right)}  \Rightarrow  \ldots \boxed{OS = \alpha  \cdot \sqrt {\frac{7} 
{2} - 2\sqrt 3 } } 
}

Ελπίζω να έχω κάνει σωστά τις πράξεις τώρα.

Στάθης
Συνημμένα
ψάχνουμε το μικρότερο.png
ψάχνουμε το μικρότερο.png (39.49 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες