Βρείτε τη γωνία x (85)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία x (85)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιουν 16, 2011 4:43 pm

χ85.png
χ85.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Δίνεται τετράπλευρο ABCD με AB = 8,\,BC = 4\sqrt 5. Αν η διαγώνιος BD = 5\sqrt 3 και D\widehat AC = B\widehat AC = {30^ \circ }, βρείτε τη γωνία x = D\widehat CB.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη γωνία x (85)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Ιουν 18, 2011 11:19 am

καλημέρα Μιχάλη,καλημέρα... :logo:
Ζαλίστηκα από τις στροφές και τις γωνίες ,βρήκα x=60^o
(θέλω να πιστεύω ότι δεν έχω κάνει λάθος
εξάλλου αυτή που δείχνεις στην εικόνα 60^o είναι :) )

\bullet \displaystyle{A\hat DB=w,\ \vartriangle ABD \ (\nu.\eta\mu \iota\tau) \rightarrow \frac{BD}{\sin 60}=\frac{AB}{\sin w}\Rightarrow \sin w=\frac{4}{5},\ \cos w=\frac{3}{5}}

\bullet \displaystyle{\vartriangle ABD \ (\nu.\eta\mu \iota\tau) \rightarrow \frac{AB}{\sin w}=\frac{AD}{\sin(60+ w)}\Rightarrow AD=3\sqrt 3+4}

\bullet \displaystyle{AM \ \delta \iota \chi o \tau. \  D\hat AB \rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow \frac{BD}{MB}=\frac{AD+AB}{AB}\Rightarrow MB=\frac{40\sqrt 3(4-\sqrt 3)}{39}}

\bullet \displaystyle{A\hat CB=a,\ \vartriangle MBC \ (\nu.\eta\mu \iota\tau) \rightarrow \frac{MB}{\sin a}=\frac{BC}{\sin (30+ w)}\Rightarrow \sin a=\frac{\sqrt 5}{5},\ \cos a=\frac{2 \sqrt 5}{5}}

\bullet \displaystyle{ \vartriangle BCD \ (\nu.\eta\mu \iota\tau) \rightarrow \frac{BC}{\sin (150-w-x+a)}=\frac{BD}{\sin x}\Rightarrow  \frac{BC}{\sin (30+w+x-a)}=\frac{BD}{\sin x}\Rightarrow }

\displaystyle{4\sin x=\sqrt 5 \sqrt 3 \sin((30+w+x)-a)\Rightarrow \dots \Rightarrow  \frac{4 \sin x}{\sqrt 3}=2 \sin((30+x)+w)-\cos((30+x)+w)\Rightarrow}

\displaystyle{\frac{4 \sin x}{\sqrt 3}=2\sin(30+x)+\cos(30+x) \Rightarrow \tan x=\sqrt 3 \Rightarrow x=60^o}}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (85)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιουν 20, 2011 3:50 pm

x85-sol.png
x85-sol.png (24.8 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Ευχαριστώ για μια ακόμα φορά τη Φωτεινή. Άλλη μία διαπραγμάτευση.

Φέρω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABD, ο οποίος τέμνει την AC στο O, καθώς και την BE \bot AC. Εφόσον B\widehat AD = {60^ \circ } θα είναι B\widehat OD = {120^ \circ } και OB = OD = y, γιατί στον ίδιο κύκλο απέναντι από ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές.

Είναι BE = 4 (από το ορθογώνιο BAE με B\widehat AE = {30^ \circ }\,\& \,AB = 8) και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο OBD παίρνουμε y = 5. Από Πυθαγόρειο στα τρίγωνα BEO,BEC παίρνουμε αντίστοιχα EO = 3,\,EC = 8, άρα OC = 5.

Εφόσον OB = OD = OC = 5 το O είναι το περίκεντρο του BCD και εφόσον B\widehat OD = {120^ \circ } θα είναι x = D\widehat CB = {60^ \circ }.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης