και μετρική και επαφή!!

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

και μετρική και επαφή!!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιουν 23, 2011 9:01 pm

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ 
\vartriangle ABC 
} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{ 
\left( {O,R} \right) 
}. Οι ευθείες \displaystyle{ 
AO,BO,CO 
} τέμνουν τις ευθείες των πλευρών \displaystyle{ 
BC,CA,AB 
} στα σημεία \displaystyle{ 
A',B',C' 
} αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι

i) ισχύει: \displaystyle{ 
\frac{1} 
{{AA'}} + \frac{1} 
{{BB'}} + \frac{1} 
{{CC'}} = \frac{2} 
{R} 
}

ii) Οι κύκλοι διαμέτρων \displaystyle{ 
AA',BB',CC' 
} εφάπτονται του κύκλου του Euler του τριγώνου \displaystyle{ 
\vartriangle ABC 
}


Στάθης
Συνημμένα
και μετρική και επαφή.png
και μετρική και επαφή.png (39.9 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6091
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: και μετρική και επαφή!!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιουν 28, 2011 1:30 am

Μια απάντηση στο 1ο ερώτημα:

Εδώ αποδείξαμε, ότι

\displaystyle{OA^{\prime}=R\frac{\cos A}{\cos (B-C)}}.

Επομένως, είναι

\displaystyle{AA^{\prime}=AO+OA^{\prime}=R+R\frac{\cos A}{\cos (B-C)}=R\frac{\cos (B-C)+\cos A}{\cos (B-C)}=}

\displaystyle{=R\frac{2\sin B\sin C}{\cos (B-C)} \Rightarrow \frac{1}{AA^{\prime}}=\frac{1}{R}\frac{\cos B\cos C+\sin B\sin C}{2\sin B\sin C}=\frac{1}{2R}\left(1+\cot B\cot C \right)}

Άρα, είναι

\displaystyle{\frac{1}{AA^{\prime}}+\frac{1}{BB^{\prime}}+\frac{1}{CC^{\prime}}=\frac{1}{2R}\Big(3+\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A\Big)},

οπότε, το ζητούμενο προκύπτει από την ταυτότητα \displaystyle{\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: και μετρική και επαφή!!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιουν 28, 2011 11:33 am

matha έγραψε:Μια απάντηση στο 1ο ερώτημα:

Εδώ αποδείξαμε, ότι

\displaystyle{OA^{\prime}=R\frac{\cos A}{\cos (B-C)}}.

Επομένως, είναι

\displaystyle{AA^{\prime}=AO+OA^{\prime}=R+R\frac{\cos A}{\cos (B-C)}=R\frac{\cos (B-C)+\cos A}{\cos (B-C)}=}

\displaystyle{=R\frac{2\sin B\sin C}{\cos (B-C)} \Rightarrow \frac{1}{AA^{\prime}}=\frac{1}{R}\frac{\cos B\cos C+\sin B\sin C}{2\sin B\sin C}=\frac{1}{2R}\left(1+\cot B\cot C \right)}

Άρα, είναι

\displaystyle{\frac{1}{AA^{\prime}}+\frac{1}{BB^{\prime}}+\frac{1}{CC^{\prime}}=\frac{1}{2R}\Big(3+\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A\Big)},

οπότε, το ζητούμενο προκύπτει από την ταυτότητα \displaystyle{\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1.}
Και λίγο γεωμετρικά. για το 1ο) ερώτημα… Μιας και viewtopic.php?f=22&t=16921

\displaystyle{ 
OA_1  = R \cdot \frac{{a'}} 
{{b' + c'}} \Rightarrow \frac{R} 
{{OA_1 }} = \frac{{b' + c'}} 
{{a'}} \Rightarrow \frac{R} 
{{R + OA_1 }} = \frac{{b' + c'}} 
{{a' + b' + c'}} \Rightarrow \boxed{\frac{R} 
{{AA_1 }} = \frac{{b' + c'}} 
{{a' + b' + c'}}}:\left( 1 \right) 
}. Ομοίως \displaystyle{ 
\boxed{\frac{R} 
{{BB_1 }} = \frac{{a' + c'}} 
{{a' + b' + c'}}}:\left( 2 \right) 
} και \displaystyle{ 
\boxed{\frac{R} 
{{CC_1 }} = \frac{{a' + b'}} 
{{a' + b' + c'}}}:\left( 3 \right) 
}

Έτσι \displaystyle{ 
\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow R\left( {\frac{1} 
{{AA_1 }} + \frac{1} 
{{BB_1 }} + \frac{1} 
{{CC_1 }}} \right) = \frac{{2\left( {a' + b' + c'} \right)}} 
{{a' + b' + c'}} = 2 \Rightarrow  
} \displaystyle{ 
\frac{1} 
{{AA_1 }} + \frac{1} 
{{BB_1 }} + \frac{1} 
{{CC_1 }} = \frac{2} 
{R}\xrightarrow{{A_1  \to A',B_1  \to B',C_1  \to C'}}\boxed{\frac{1} 
{{AA'}} + \frac{1} 
{{BB'}} + \frac{1} 
{{CC'}} = \frac{2} 
{R}} 
}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: και μετρική και επαφή!!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιουν 28, 2011 6:13 pm

Ας δώσουμε και μια λύση «ανεξάρτητη» και με την βοήθεια των «σχέσεων των εμβαδών για το θέμα η οποία (λύση) απαντά και στο δεύτερο ερώτημα

Έστω \displaystyle{ 
{\rm M} 
} το μέσο της \displaystyle{ 
BC 
}, \displaystyle{ 
H 
} το ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle{ 
\vartriangle ABC 
} και \displaystyle{ 
N 
} μέσο του \displaystyle{ 
HA 
}.

Τότε το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ANMO 
} είναι παραλληλόγραμμο (διότι όπως φαίνεται (και με την απόδειξή του) στο σχήμα 2ο ) ισχύει: \displaystyle{ 
AH\mathop  = \limits^{//} 2OM\mathop  \Rightarrow \limits^{AN = NH} \boxed{AN\mathop  = \limits^{//} OM} 
}

όπως επίσης παραλληλόγραμμο είναι και το \displaystyle{ 
NHMO 
} οπότε οι διαγώνιές του διχοτομούνται (δηλαδή \displaystyle{ 
O_E  
} είναι το μέσο της \displaystyle{ 
MN 
} και το μέσο της \displaystyle{ 
HO 
} (δηλαδή το \displaystyle{ 
O_E  
}

είναι το κέντρο του κύκλου \displaystyle{ 
\left( {C_E } \right) 
} του Euler του τριγώνου \displaystyle{ 
\vartriangle ABC 
}.

Αν μάλιστα \displaystyle{ 
D 
} είναι το μέσο της \displaystyle{ 
AA' 
} τότε επειδή \displaystyle{ 
\frac{{O_E N}} 
{{O_E M}} = \frac{{DA}} 
{{DA'}} = 1 
} (από θεώρημα δέσμης) προκύπτει ότι \displaystyle{ 
A_1 ,O_E ,D 
} είναι συνευθειακά και αν

λάβουμε υπόψη ότι ο κύκλος του Euler διέρχεται από το \displaystyle{ 
A_1  
} από το οποίο διέρχεται και ο κύκλος διαμέτρου \displaystyle{ 
AA' 
} (αφού \displaystyle{ 
\widehat{AA_1 A'} = 90^0  
}) και επειδή η

διάκεντρος \displaystyle{ 
DO_E  
} των κύκλων \displaystyle{ 
C_E ,C_D  
} διέρχεται από το κοινό τους σημείο \displaystyle{ 
A_1  
} αυτοί εφάπτονται στο \displaystyle{ 
A_1  
} ( όμοια και για τους άλλους κύκλους)

(Ας σημειωθεί ότι (για τον ίδιο λόγο) οι κύκλοι διαμέτρων \displaystyle{ 
AA',BB',CC' 
} εφάπτονται και του περικύκλιου του \displaystyle{ 
\vartriangle ABC 
}) Είναι \displaystyle{ 
O_E A_1  = O_E N\mathop  = \limits^{\vartriangle HOA} \frac{{OA}} 
{2} = \frac{R} 
{2} 
}

\displaystyle{ 
MN//AA'\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle A_1 MN \sim \vartriangle A_1 AA'} \frac{{MN}} 
{{AA'}} = \frac{{A_1 N}} 
{{A_1 A}}\mathop  \Rightarrow \limits^{MN = OA = R} \frac{R} 
{{AA'}} = \frac{1} 
{2} \cdot \frac{{2A_1 N}} 
{{A_1 A}} = \frac{1} 
{2} \cdot \frac{{A_1 A + A_1 H}} 
{{A_1 A}} = \frac{1} 
{2} \cdot \left( {\frac{{A_1 A}} 
{{A_1 A}} + \frac{{A_1 H}} 
{{A_1 A}}} \right) 
} \displaystyle{ 
 \Rightarrow \boxed{\frac{R} 
{{AA'}} = \frac{1} 
{2} \cdot \left( {1 + \frac{{A_1 H}} 
{{A_1 A}}} \right)}:\left( 1 \right)^\prime   
}

Όμως τα τρίγωνα \displaystyle{ 
\vartriangle BHC,\vartriangle BAC 
} μοιράζονται κοινή «βάση» την \displaystyle{ 
BC 
} οπότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντιστοίχων (στην κοινή βάση) υψών

δηλαδή \displaystyle{ 
\frac{{A_1 H}} 
{{A_1 A}} = \frac{{\left( {BHC} \right)}} 
{{\left( {ABC} \right)}} 
} και η σχέση \displaystyle{ 
\left( 1 \right)^\prime   
} γίνεται \displaystyle{ 
\boxed{\frac{R} 
{{AA'}} = \frac{1} 
{2} \cdot \left( {1 + \frac{{\left( {BHC} \right)}} 
{{\left( {ABC} \right)}}} \right)}:\left( 1 \right) 
}.

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε: \displaystyle{ 
\boxed{\frac{R} 
{{BB'}} = \frac{1} 
{2} \cdot \left( {1 + \frac{{\left( {CHA} \right)}} 
{{\left( {ABC} \right)}}} \right)}:\left( 2 \right) 
} καθώς και \displaystyle{ 
\boxed{\frac{R} 
{{CC'}} = \frac{1} 
{2} \cdot \left( {1 + \frac{{\left( {AHB} \right)}} 
{{\left( {ABC} \right)}}} \right)}:\left( 3 \right) 
}. Με πρόσθεση των σχέσεων \displaystyle{ 
\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) 
} προκύπτει:

\displaystyle{ 
\frac{R} 
{{AA'}} + \frac{R} 
{{BB'}} + \frac{R} 
{{CC'}} =  \ldots \frac{1} 
{2} \cdot \left( {3 + \frac{{\left( {BHC} \right) + \left( {CHA} \right) + \left( {AHB} \right)}} 
{{\left( {ABC} \right)}}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {BHC} \right) + \left( {CHA} \right) + \left( {AHB} \right) = \left( {ABC} \right)}  \ldots R\left( {\frac{1} 
{{AA'}} + \frac{1} 
{{BB'}} + \frac{1} 
{{CC'}}} \right) = 2 \Rightarrow  
} \displaystyle{ 
\boxed{\frac{1} 
{{AA'}} + \frac{1} 
{{BB'}} + \frac{1} 
{{CC'}} = \frac{2} 
{R}} 
}


Στάθης
Συνημμένα
και μετρική και επαφή!!.png
και μετρική και επαφή!!.png (124.45 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης