Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Κυρ Ιουν 28, 2009 7:39 pm

Εχουμε ενα ορθογωνιο τριγωνο ABC και τις πλευρες AB και BC εχουν μηκη 3 και 4 εκατοστα αντιστοιχα.
Ενα ημικυκλιο εγγραφεται στο τριγωνο οπως φαινεται στο σχημα.Να βρειτε το εμβαδον του ημικυκλιου.
Συνημμένα
triangle.png
triangle.png (28.14 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Ιουν 28, 2009 8:19 pm

Έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου. Φέρνουμε τα κάθετα τμήματα ΟG,OH από το Ο προς τις ΑΒ, BC αντίστοιχα. Το τετράπλευρο OGBH είναι τετράγωνο γιατί έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες με την ακτίνα του ημικυκλίου και 3 γωνίες ορθές.
Από ομοιότητα των τριγώνων AGO και ABC έχουμε \displaystyle{\frac{{{\rm A}G}}{{AB}} = \frac{{OG}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{AB - BG}}{{AB}} = \frac{{OG}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{3 - OG}}{3} = \frac{{OG}}{4} \Leftrightarrow OG = \frac{{12}}{7}}
Το ζητούμενο εμβαδό Ε είναι διπλάσιο από αυτό του τεταρτοκυκλίου OGH (δεν μπόρεσα να βάλω το σημάδι του τόξου με το μάθταιπ πάνω από το GH και να μεταφραστεί σωστά από το λάτεξ)
Άρα \displaystyle{E = 2 \cdot \frac{{\pi {{\left( {OG} \right)}^2}}}{4} = \frac{{72\pi }}{{49}}}
Συνημμένα
6.png
6.png (35.3 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Κυρ Ιουν 28, 2009 8:59 pm

Δανείζομαι το σχήμα του Βασίλη
Έστω η πλευρά του τετραγώνου τότε: (ΑGO)+(GOHB)+(OHC) = (ABC), άρα, x^{2}+\frac{x(3-x)}{2}+\frac{x(4-x)}{2}=\frac{4.3}{2}\Rightarrow x= \frac{12}{7}
Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιουν 29, 2009 12:02 am

Δίχως να προσφέρω τίποτα ουσιαστικά διαφορετικό ή πιο πρωτότυπο από τις λύσεις των Βασίλη και Χρήστου, επειδή μου άρεσε το θέμα δίνω δύο λύσεις:

hmikyklio 01.png
hmikyklio 01.png (3.38 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές
Έστω Κ το κέντρο του ημικυκλίου. και ΚΕ, ΚD οι ακτίνες στα σημεία επαφής, οπότε ΚΕΒD τετράγωνο, αφού είναι ορθογώνιο με ΒD = ΒΕ = x, (εφαπτόμενες στο ημικύκλιο από το Β), με 0 < x < 3.
Αφού το ημικύκλιο είναι εγγεγραμμένο στο τρίγωνο, το Κ είναι σημείο της ΑC.
Eίναι \displaystyle\varepsilon \phi C = \frac{x}{{4 - x}},\;\;\sigma \phi {\rm A} = \frac{{3 - x}}{x} και αφού A + C = 90°, είναι: x^2  = 12 - 3x - 4x + x^2,
οπότε \displaystyle x = \frac{{12}}{7},
οπότε Εμβ. ημικ. = \displaystyle\frac{{\pi  \cdot \frac{{144}}{{49}}}}{2} = \frac{{72\pi }}{{49}}.

hmikyklio 02.png
hmikyklio 02.png (4.23 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές
Παίρνουμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Β(0, 0), A(0, 3) και C(4, 0). Αν D(r, 0) και E(0, r), τα σημεία επαφής του ημικυκλίου με τις ΒC και ΒΑ αντίστοιχα, τότε Κ(r, r) (αφού ΒΔΚΕ τετράγωνο) και Κ σημείο της AC.
Η ευθεία ΑC έχει εξίσωση: \displaystyle\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 (παραπέμπουμε τους μαθητές σε άσκηση του σχ. βιβλίου), οπότε \displaystyle\frac{r}{4} + \frac{r}{3} = 1\;\; \Rightarrow \;\;r = \frac{{12}}{7}, άρα Εμβ. ημικ. = \displaystyle\frac{{\pi  \cdot \frac{{144}}{{49}}}}{2} = \frac{{72\pi }}{{49}}.

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ημικυκλιο εγγεγραμενο σε τριγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Ιούλ 01, 2009 11:33 am

papel έγραψε:Εχουμε ενα ορθογωνιο τριγωνο ABC και τις πλευρες AB και BC εχουν μηκη 3 και 4 εκατοστα αντιστοιχα.
Ενα ημικυκλιο εγγραφεται στο τριγωνο οπως φαινεται στο σχημα.Να βρειτε το εμβαδον του ημικυκλιου.
καλημέρα

έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου και R η ακτίνα του,τότε

(ΑΒC)=(ΑΒΟ)+(ΒΟC)---> \frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot R+\frac{1}{2}BC\cdot R \rightarrow

\frac{1}{2}3\cdot 4=\frac{1}{2}3\cdot R+\frac{1}{2}4\cdot R\rightarrow R=\frac{12}{7}

και βρίσκουμε το εμβαδόν του ημικυκλίου


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ, Τσιαλας Νικολαος και 1 επισκέπτης