Βρείτε τη γωνία χ (93)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (93)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 30, 2011 10:14 pm

x93.png
x93.png (11.77 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD παίρνω σημείο E, τέτοιο ώστε: M\widehat ED = E\widehat DC = E\widehat AD = x, όπου M το μέσο της BC. Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας x.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3925
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Βρείτε τη γωνία χ (93)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Οκτ 30, 2011 11:38 pm

Μιχάλη καλησπέρα!!!. Έχουμε αρκετό καιρό να "τρακάρουμε"
4.png
4.png (24.32 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Θεωρούμε το περικύκλιο του τριγώνου \displaystyle{ 
\vartriangle AED 
} Επειδή είναι \displaystyle{ 
\widehat{DAE} = \widehat{EDC} = x 
} η \displaystyle{ 
DC 
} θα είναι εφαπτόμενη του κύκλου και επειδή από

το τετράγωνο είναι \displaystyle{ 
AD \bot DC 
} συνεπώς η \displaystyle{ 
AD 
} θα είναι διάμετρος του κύκλου οπότε το κέντρο του είναι το μέσο της \displaystyle{ 
AD 
}

Ομοίως επειδή είναι \displaystyle{ 
\widehat{DAE} = \widehat{MED} = x 
} η \displaystyle{ 
EM 
} θα εφάπτεται του κύκλου \displaystyle{ 
\left( O \right) 
} άρα είναι \displaystyle{ 
EM \bot OE 
} και επομένως \displaystyle{ 
E 
}

θα ανήκει και στον κύκλο \displaystyle{ 
\left( K \right) 
} διαμέτρου \displaystyle{ 
MO = DC = a 
} (αφού \displaystyle{ 
O,M 
} τα μέσα των \displaystyle{ 
AD,BC 
} αντίστοιχα.

Προφανώς οι κύκλοι \displaystyle{ 
\left( O \right),\left( K \right) 
} είναι ίσοι (ίσες διαμέτρους με την πλευρά του τετραγώνου) και το \displaystyle{ 
K \in \left( O \right) 
} τότε όμως

για το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ 
\vartriangle OEM\left( {\widehat{MEO} = 90^0 } \right) 
} ισχύει: \displaystyle{ 
OE = \frac{{AD}} 
{2} = \frac{{OM}} 
{2} = \frac{a} 
{2} \Rightarrow \hat \omega  = \widehat{OME} = 30^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{AD - \varepsilon \phi \alpha \pi \tau \mu \varepsilon \nu \eta  - \tau o\upsilon  - \left( K \right)}  
}

\displaystyle{ 
\widehat{AOE} = \widehat{OME} = 30^0  
} \displaystyle{ 
\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle DOE(\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varsigma (\left( {OD = OE = \frac{a} 
{2}} \right),\widehat{AOE}(\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa ) \to \widehat{AOE} = 2\widehat{OED}} 2\widehat{OED} = 30^0  \Rightarrow \widehat{OED} = 15^0 \mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat{OEM} = 90^0 } \widehat{DEM} = \boxed{x = 90^0  - 15^0  = 75^0 } 
}


Στάθης

Υ.Σ. Γιώργο (Ρίζο) και αυτή την είχα λυμένη από πριν :lol: :lol:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (93)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Δευ Οκτ 31, 2011 12:14 am

Μιχάλη και Στάθη καλησπέρα!

Προεκτείνουμε την EM έτσι ώστε να τμήσει την προέκταση της DC στο σημείο G με προφανές συμπέρασμα ότι το τρίγωνο GDE είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής (180^{\circ}-2x).
Φέρουμε το ύψος GJ του τριγώνου GDE το οποίο τέμνει την AD στο σημείο K και ενώνουμε το K με το M καθώς και το K με το E. Οι γωνίες EGJ,JGD έχουν μέτρο (90^{\circ}-x) έκαστη.
H γωνία KDJ έχει μέτρο (90^{\circ}-x) οπότε από τη σύγκριση των τριγώνων KJD,KJE και η γωνία KEJ έχει μέτρο (90^{\circ}-x).
Η γωνία AED είναι προφανώς ορθή επομένως η γωνία KEA έχει μέτρο (x^{\circ}) δηλαδή το τρίγωνο AEK είναι ισοσκελές.
Αυτό σημαίνει ότι DK=KE=KA ή αλλιώς το σημείο K είναι μέσο του AD.
Η γωνία λοιπόν (εντός εναλλάξ …) MKG έχει μέτρο (90^{\circ}-x) και το τρίγωνο MKG είναι ισοσκελές.
Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο GCM η κάθετη CM είναι το ήμισυ της υποτείνουσας MG.
Είναι πλέον προφανές ότι x=75^{\circ}.
Βρείτε τη γωνία χ (93).PNG
Βρείτε τη γωνία χ (93).PNG (37.98 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
NIZ
Δημοσιεύσεις: 272
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (93)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NIZ » Τετ Νοέμ 02, 2011 12:43 am

cor75.png
cor75.png (21.66 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Έστω H το μέσο της AD . Στο τετράγωνο ABCD είναι HM=CD =AD ~,~ HM\perp AD .
Επειδή \hat{ADC}= x+\phi=90^o  ~, το τρίγωνο AED~, είναι ορθογώνιο στο E. ~
Στο ορθογώνιο τρίγωνο AED ,~ είναι \displaystyle EH=\frac{AD}{2}=HD \Rightarrow \hat{HDE}=\hat{HED}=\phi ~~ και ~ \hat{AHE}=2\phi
Στο τρίγωνο HEM έχουμε \hat{HEM}=\phi+x=90^o , δηλ. το τρ. HEM είναι ορθογώνιο στο E και επειδή \displaystyle HE=\frac{AD}{2}=\frac{HM}{2}
είναι \hat{HME}=30^o \Rightarrow \hat{MHE}=60^o\Rightarrow 2\phi=30^o \Rightarrow \phi=15^o\Rightarrow  x=75^o


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης