Βρείτε το λόγο (17)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το λόγο (17)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Νοέμ 17, 2011 10:02 pm

l17.png
l17.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές
Σε ισοσκελές τραπέζιο ABCD\,(AD = BC) με ύψος EZ = 5\,(E \in AB), ισχύει DZ = 3EB = 3x. Επί του EZ παίρνω σημείο K με EK = 4 και φέρω KM \bot AD και KN \bot BC. Αν KM = 3,\,KN = 2, βρείτε το λόγο \displaystyle\frac{{ZC}}{{AE}}.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: Βρείτε το λόγο (17)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Παρ Νοέμ 18, 2011 8:05 pm

Καλησπέρα σε όλους
Μία λύση με εμβαδά .
Στο τμήμα KM παίρνουμε σημείο F , ώστε KF=KN=2και από το F φέρνουμε παράλληλη προς την AD , η οποία τέμνει την AB στο G και την DC στο H , οπότε είναι GH=AD=BC , GE=EB=x , HZ=ZC=y , G\hat{F}K=90^{o} και το AGHD είναι παραλληλόγραμμο με DH=AG=3x-y.
Επίσης \left(GBCH \right)=\left(GKB \right)+\left(HKC \right)+2\left(GKH \right)\Leftrightarrow 5\left(x+y \right)=4x+y+2AD\Leftrightarrow2AD=x+4y
Από το παραλληλόγραμμο AGHD έχουμε : AD=\left(3x-y \right)5 και από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε \frac{y}{x}=\frac{29}{14} .
Οπότε \frac{ZC}{AE}=\frac{y}{4x-y}=\frac{\frac{y}{x}}{4-\frac{y}{x}}=\frac{29}{27} .

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
TRAPEZIO.ggb.png
TRAPEZIO.ggb.png (25.22 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το λόγο (17)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Νοέμ 19, 2011 6:49 pm

Μετά την ωραία απάντηση του Θανάση, μια λύση με ομοιότητα.
l17-sol.png
l17-sol.png (13.64 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Έστω S \equiv DA \cap ZE, T \equiv CB \cap ZE, TE = a και ST = b. Είναι \widehat C = \widehat D (από το ισοσκελές τραπέζιο) = E\widehat KM = E\widehat KN (απ’ τα εγγράψιμα τετράπλευρα KMDZ,\,KNCZ) = T\widehat BE = S\widehat AE (AB//CD).

Απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων SDZ,\,TEB έχουμε: \displaystyle\frac{{3x}}{x} = \displaystyle\frac{{b + a + 5}}{a} \Rightarrow 2a - b = 5\,\,\left( 1 \right). Απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων SMK,\,TNK έχουμε: \displaystyle\frac{{b + a + 4}}{3} = \displaystyle\frac{{a + 4}}{2} \Rightarrow a - 2b =  - 4\,\,\left( 2 \right).

Από το σύστημα των \left( 1 \right),\left( 2 \right) παίρνουμε \left( {a,\,b} \right) = \left( {\displaystyle\frac{{14}}{3},\,\displaystyle\frac{{13}}{3}} \right) και απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων TZC,\,SEA: \displaystyle\frac{{ZC}}{{AE}} = \displaystyle\frac{{5 + \displaystyle\frac{{14}}{3}}}{{\displaystyle\frac{{14}}{3} + \displaystyle\frac{{13}}{3}}} = \displaystyle\frac{{29}}{{27}}.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες