Βρείτε το λόγο (17)

Ιστοσελίδα · #1

: l17.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD\,(AD = BC)$ με ύψος $EZ = 5\,(E \in AB)$ , ισχύει DZ = 3EB = 3x

. Επί του

παίρνω σημείο

με

και φέρω $KM \bot AD$ και $KN \bot BC$ . Αν $KM = 3,\,KN = 2$ , βρείτε το λόγο $\displaystyle\frac{{ZC}}{{AE}}$ .

mathfinder · #2

Καλησπέρα σε όλους
Μία λύση με εμβαδά .
Στο τμήμα

παίρνουμε σημείο

, ώστε

και από το

φέρνουμε παράλληλη προς την

, η οποία τέμνει την

στο

και την

στο

, οπότε είναι GH=AD=BC

,

, $G\hat{F}K=90^{o}$ και το AGHD

είναι παραλληλόγραμμο με DH=AG=3x-y

.
Επίσης $\left(GBCH \right)=\left(GKB \right)+\left(HKC \right)+2\left(GKH \right)\Leftrightarrow 5\left(x+y \right)=4x+y+2AD\Leftrightarrow2AD=x+4y$
Από το παραλληλόγραμμο AGHD

έχουμε : $AD=\left(3x-y \right)5$ και από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε $\frac{y}{x}=\frac{29}{14}$ .
Οπότε $\frac{ZC}{AE}=\frac{y}{4x-y}=\frac{\frac{y}{x}}{4-\frac{y}{x}}=\frac{29}{27}$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Ιστοσελίδα · #3

Μετά την ωραία απάντηση του Θανάση, μια λύση με ομοιότητα.

: l17-sol.png (13.64 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Έστω $S \equiv DA \cap ZE$ , $T \equiv CB \cap ZE$ , TE = a

και

. Είναι $\widehat C = \widehat D$ (από το ισοσκελές τραπέζιο) $= E\widehat KM = E\widehat KN$ (απ’ τα εγγράψιμα τετράπλευρα $KMDZ,\,KNCZ$ ) $= T\widehat BE = S\widehat AE$ ( AB//CD

).

Απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων $SDZ,\,TEB$ έχουμε: $\displaystyle\frac{{3x}}{x} = \displaystyle\frac{{b + a + 5}}{a} \Rightarrow 2a - b = 5\,\,\left( 1 \right)$ . Απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων $SMK,\,TNK$ έχουμε: $\displaystyle\frac{{b + a + 4}}{3} = \displaystyle\frac{{a + 4}}{2} \Rightarrow a - 2b = - 4\,\,\left( 2 \right)$ .

Από το σύστημα των $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ παίρνουμε $\left( {a,\,b} \right) = \left( {\displaystyle\frac{{14}}{3},\,\displaystyle\frac{{13}}{3}} \right)$ και απ’ το λόγο ομοιότητας των τριγώνων $TZC,\,SEA$ : $\displaystyle\frac{{ZC}}{{AE}} = \displaystyle\frac{{5 + \displaystyle\frac{{14}}{3}}}{{\displaystyle\frac{{14}}{3} + \displaystyle\frac{{13}}{3}}} = \displaystyle\frac{{29}}{{27}}$ .

Βρείτε το λόγο (17)

Βρείτε το λόγο (17)

Re: Βρείτε το λόγο (17)

Re: Βρείτε το λόγο (17)

Μέλη σε σύνδεση