Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
Θεωρούμε κανονικό - γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Να δειχθεί ότι το το άθροισμα των τετραγώνων των δυνάμεων των κορυφών του προς τυχαία σφαίρα
του χώρου παραμένει σταθερό δηλαδή ( όπου είναι η δύναμη του
ως προς τη σφαίρα ) , όταν το πολύγωνο στρέφεται γύρο από το κέντρο του .
Στάθης
Να δειχθεί ότι το το άθροισμα των τετραγώνων των δυνάμεων των κορυφών του προς τυχαία σφαίρα
του χώρου παραμένει σταθερό δηλαδή ( όπου είναι η δύναμη του
ως προς τη σφαίρα ) , όταν το πολύγωνο στρέφεται γύρο από το κέντρο του .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
ΕίναιΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τρί Ιαν 03, 2012 5:33 pmΘεωρούμε κανονικό - γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Να δειχθεί ότι το το άθροισμα των τετραγώνων των δυνάμεων των κορυφών του προς τυχαία σφαίρα
του χώρου παραμένει σταθερό δηλαδή ( όπου είναι η δύναμη του
ως προς τη σφαίρα ) , όταν το πολύγωνο στρέφεται γύρο από το κέντρο του .
Στάθης
Είναι σταθερό.Θα δείξω πως σταθερό.
Για αρχή θα δείξω πως .
Θεωρώ στροφή διανύσματος γωνίας έτσι με
Άρα .Αφού το διάνυσμα με την μη μηδενικής και πλήρης γωνίας στροφή δεν μεταβάλλεται θα είναι το μηδενικό.Άρα βαρύκεντρο των
Χρησιμοποιώντας τι αποτέλεσμα εδώ παίρνουμε
.
Μένει να δείξω ότι σταθερό.
Είναι
.
Από τους παραπάνω όρους του αθροίσματος ο μόνος που δεν είναι σταθερός είναι ο τελευταίος.
Αρκεί να δείξω ότι το εσωτερικό γινόμενο μένει σταθερό κατά την περιστροφή του πολυγώνου.
Όμως άρα και το ζητούμενο έπεται.
Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
Σημείωση:Το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει και για κανονικά στερεά ή και γενικά για στερεά εγγράψιμα σε σφαίρα με σταθερό κέντρο βάρους κατόπιν περιστροφής.
Υπάρχει ικανοποιητική θεωρία που τα αντιμετωπίζει όλα αυτά και κάποια αρκετά γενικότερα.Ίσως επανέλθω κάποια στιγμή στο μέλλον.
Υπάρχει ικανοποιητική θεωρία που τα αντιμετωπίζει όλα αυτά και κάποια αρκετά γενικότερα.Ίσως επανέλθω κάποια στιγμή στο μέλλον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες