Βρείτε το εμβαδόν (22)

Ιστοσελίδα · #1

: area22.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ισχύει $\left( {ABE} \right) = \left( {BEZ} \right) = \left( {BZC} \right) = 2\,c{m^2}$ . Βρείτε το $\left( {DEZ} \right)$ .

#2

: Εμβαδά τριγώνων.PNG (6.76 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Με τα δεδομένα του ανωτέρω σχήματος είναι:

$\displaystyle (ABZD)=(ABCD)-(BCZ)\Rightarrow \\\Rightarrow \frac{\left(a+x \right)b}{2}=ab-2 \Rightarrow x=a-\frac{4}{b} \ \ (1)$

Όμοια είναι:

$\displaystyle (BCDE)=(ABCD)-(ABE)\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{(b+y)a}{2}=ab-2 \Rightarrow y=b-\frac{4}{a} \ \ (2)$

Άρα:
$\displaystyle (DEZ)=(ABCD)-6\Rightarrow \\\Rightarrow \frac{(a-\frac{4}{b})(b-\frac{4}{a})}{2}=ab-6\Rightarrow ...\\(ab)^2-4(ab)-16=0 \ \ (3)$
Η (3) δίνει δύο ρίζες πραγματικές από τις οποίες δεχόμαστε τη θετική.
Έτσι:
$\displaystyle (ABCD)=ab=2+2\sqrt{5} \ \ (4)$

Τελικά από τις (1) και (2) για το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
$\displaystyle (DEZ)=(ABCD)-6=ab-6=2+2\sqrt{5}-6=2\sqrt{5}-4\Rightarrow \\\Rightarrow (DEZ)=2\sqrt{5}-4$

Σχόλιο:
Το ορθογώνιο $\displaystyle{ABCD}$ στο οποίο ισχύει αυτή η προϋπόθεση δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο. Με άλλα λόγια υπάρχουν πολλά τέτοια ορθογώνια
για τα οποία τα τρία τρίγωνα να έχουν εμβαδόν ίσο με 2 τ.μονάδες. Ένα από τα άπειρα αυτά(μπορεί και τετράγωνο) είναι το σχήμα που ανάρτησα.
Βέβαια με μια κλίμακα 1:3. Δηλαδή το ορθογώνιο για το οποίο ισχύουν αυτά είναι όμοιο, μικρότερο απ' αυτό και με λόγο ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Βρείτε το εμβαδόν (22)

Βρείτε το εμβαδόν (22)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (22)

Μέλη σε σύνδεση