Σελίδα 1 από 1

Βρείτε το εμβαδόν (22)

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 23, 2012 4:52 pm
από Μιχάλης Νάννος
area22.png
area22.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ισχύει \left( {ABE} \right) = \left( {BEZ} \right) = \left( {BZC} \right) = 2\,c{m^2}. Βρείτε το \left( {DEZ} \right).

Re: Βρείτε το εμβαδόν (22)

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 23, 2012 7:03 pm
από KDORTSI
Εμβαδά τριγώνων.PNG
Εμβαδά τριγώνων.PNG (6.76 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Με τα δεδομένα του ανωτέρω σχήματος είναι:

\displaystyle (ABZD)=(ABCD)-(BCZ)\Rightarrow \\\Rightarrow  \frac{\left(a+x \right)b}{2}=ab-2 \Rightarrow x=a-\frac{4}{b} \ \ (1)

Όμοια είναι:

\displaystyle (BCDE)=(ABCD)-(ABE)\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{(b+y)a}{2}=ab-2 \Rightarrow y=b-\frac{4}{a} \ \ (2)

Άρα:
\displaystyle (DEZ)=(ABCD)-6\Rightarrow \\\Rightarrow \frac{(a-\frac{4}{b})(b-\frac{4}{a})}{2}=ab-6\Rightarrow ...\\(ab)^2-4(ab)-16=0 \ \ (3)
Η (3) δίνει δύο ρίζες πραγματικές από τις οποίες δεχόμαστε τη θετική.
Έτσι:
\displaystyle (ABCD)=ab=2+2\sqrt{5} \ \ (4)

Τελικά από τις (1) και (2) για το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
\displaystyle (DEZ)=(ABCD)-6=ab-6=2+2\sqrt{5}-6=2\sqrt{5}-4\Rightarrow \\\Rightarrow (DEZ)=2\sqrt{5}-4

Σχόλιο:
Το ορθογώνιο \displaystyle{ABCD} στο οποίο ισχύει αυτή η προϋπόθεση δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο. Με άλλα λόγια υπάρχουν πολλά τέτοια ορθογώνια
για τα οποία τα τρία τρίγωνα να έχουν εμβαδόν ίσο με 2 τ.μονάδες. Ένα από τα άπειρα αυτά(μπορεί και τετράγωνο) είναι το σχήμα που ανάρτησα.
Βέβαια με μια κλίμακα 1:3. Δηλαδή το ορθογώνιο για το οποίο ισχύουν αυτά είναι όμοιο, μικρότερο απ' αυτό και με λόγο ίσο με \displaystyle{\frac{1}{3}}.

Κώστας Δόρτσιος