Βρείτε τη γωνία x (115)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία x (115)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Απρ 01, 2012 9:58 am

Καλημέρα και καλό μήνα.
x115.png
x115.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές
Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημεία E,Z επί των BC,CD αντίστοιχα, τέτοια ώστε: BE = 21,\,ZC = 24 και ZD = 4. Βρείτε τη γωνία x = Z\widehat AE.

Ας δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να λύσουμε τη συγκεκριμένη, ομολογουμένως εύκολη, άσκηση!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 01, 2012 10:31 am

Ας ξεκινήσουμε με μία Τριγωνομετρική προσέγγιση (με άχρηστα δηλαδή εργαλεία για τους αναμορφωτές του Αναλυτικού προγράμματος της Β΄ Λυκείου το 2010)

Με το σχήμα του Μιχάλη (Καλύτερο ΔΕΝ θα κάναμε !)

Έστω \displaystyle{ 
\widehat{DAZ} = \widehat A_1 ,\;\;\widehat{EAB} = \widehat A_2  
}


Είναι \displaystyle 
\varepsilon \phi {\rm A}_1  = \frac{4}{{28}} = \frac{1}{7},\;\;\varepsilon \phi {\rm A}_3  = \frac{{21}}{{28}} = \frac{3}{4}


\displaystyle 
x = 90^\circ  - \widehat A_1  - \widehat A_2  \Rightarrow


\displaystyle 
 \Rightarrow \varepsilon \phi x = \varepsilon \phi \left( {90^\circ  - \widehat A_1  - \widehat A_2 } \right) = \frac{{\varepsilon \phi \left( {90^\circ  - \widehat A_1 } \right) - \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }}{{1 + \varepsilon \phi \left( {90^\circ  - \widehat A_1 } \right) \cdot \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }} =


\displaystyle 
 = \frac{{\sigma \phi \widehat A_1  - \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }}{{1 + \sigma \phi \widehat A_1  \cdot \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }} = \frac{{7 - \frac{3}{4}}}{{1 + 7 \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{{25}}{{25}} = 1


Άρα \displaystyle 
x = 45^\circ


Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 524
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Κυρ Απρ 01, 2012 10:49 am

Καλημέρα και καλό μήνα.

Με το Π.Θ εύκολα βρίσκουμε ότι ZE=25.Στην προέκταση της CB θεωρούμε σημείο Ι τέτοιο ώστε BI=4.\vartriangle ABI=ADZ(εύκολο) άρα AI=AZ και \angle ZAI=90(από στροφή της \angle DAB κατά \angle DAZ μοίρες.
Έχουμε τώρα \vartriangle ZAE=EAI ,γιατί AE κοινή,AI=AZ και EI=ZE=25 Π-Π-Π.Άρα \angle ZAE=EAI και εύκολα προκύπτει ότι \angle ZAE=45.


Αντώνης Ζητρίδης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 01, 2012 10:51 am

Ξανά ΤριγωνομετρικοΓεωμετρικά

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα

\displaystyle 
AE = \sqrt {21^2  + 28^2 }  = \sqrt {7^2  \cdot \left( {3^2  + 4^2 } \right)}  = 35

\displaystyle 
AZ = \sqrt {4^2  + 28^2 }  = \sqrt {4^2  \cdot \left( {1 + 7^2 } \right)}  = 4\sqrt {50}  = 4\sqrt {25 \cdot 2}  = 20\sqrt 2

\displaystyle 
ZE = \sqrt {24^2  + 7^2 }  = \sqrt {576 + 49}  = \sqrt {625}  = 25


Από Ν. Συνημιτόνων στο AZE \displaystyle 
\sigma \upsilon \nu x = \frac{{AE^2  + AZ^2  - ZE^2 }}{{2AE \cdot AZ}} = \frac{{1400}}{{2 \cdot 35 \cdot 20\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}


άρα \displaystyle 
x = 45^\circ

Να ευχηθώ ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ και καλή και απονήρευτη Προεκλογική Περίοδο δίχως ψεματάκια!


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 482
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Κυρ Απρ 01, 2012 11:25 am

DRAW3.png
DRAW3.png (19.83 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές
..καλημέρα και επιτέλους πάντα αλήθειες από ΌΛΟΥΣ ΜΑΣ ....

απο Π.Θ. έχουμε: AE=35, AZ=20\sqrt{2}, επίσης από ομοιότητα \triangleleft ECP\approx \triangleleft ABE έχουμε CP=28/3 , EP=35/3..
Τελειώνοντας από \triangleleft AZP , \left(AZP\ \right)= 1/2\cdot AD\cdot ZP=1/2\cdot AZ\cdot AP\cdot\sin Z\hat{A}P\Rightarrow ....... \sin Z\hat{A}P=1/\sqrt{2}....\hat{x}=45^{\circ} .-


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10568
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 01, 2012 12:21 pm

Ορίζουμε το S . Είναι AE\perp ZS ( απλές πράξεις ) και επειδή ZAS ορθογώνιο και ισοσκελές ...
Συνημμένα
115.png
115.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1080
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Κυρ Απρ 01, 2012 7:55 pm

Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάτι πρόμοιο. Να θυμίσω και τη λύση:
ZE=25 από Πυθαγόρειο Θεώρημα, επομένως το σημείο A είναι παράκεντρο του τριγώνου BCD, καθώς η CD=CB ισούται με την ημιπερίμετρο του τριγώνου CEZ. Επομένως η ζητούμενη γωνία, ισούται με 90^0-\frac{\widehat{C}}{2}.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Απρ 01, 2012 8:32 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάτι πρόμοιο.
Καταρχήν να σας ευχαριστήσω όλους για τις όμορφες λύσεις. Ο Ανδρέας έχει δίκιο. Το θέμα βρίσκεται καμουφλαρισμένο εδώ.
x115-sol.png
x115-sol.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Μπορούμε να το λύσουμε και με εμβαδά και Πυθαγόρειο Θεώρημα, παίρνοντας κατόπιν πράξεων τη σχέση \left( {AZE} \right) = \displaystyle\frac{{20\sqrt 2  \cdot 35\eta \mu x}}{2} = 350, απ’ όπου παίρνουμε \eta \mu x = \displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow x = {45^ \circ }.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 01, 2012 8:42 pm

Ακόμη μια προσέγγιση:

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα

\displaystyle 
AE = \sqrt {21^2  + 28^2 }  = \sqrt {7^2  \cdot \left( {3^2  + 4^2 } \right)}  = 35

\displaystyle 
AZ = \sqrt {4^2  + 28^2 }  = \sqrt {4^2  \cdot \left( {1 + 7^2 } \right)}  = 4\sqrt {50}  = 4\sqrt {25 \cdot 2}  = 20\sqrt 2


Είναι: \displaystyle \left( {AZE} \right) = \left( {ABCD} \right) - \left( {ADZ} \right) - \left( {ABE} \right) - \left( {ZEC} \right) \Leftrightarrow


\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}20\sqrt 2  \cdot 35 \cdot \sin x = 28^2  - \frac{{4 \cdot 28}}{2} - \frac{{21 \cdot 28}}{2} - \frac{{24 \cdot 7}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}


άρα \displaystyle 
x = 45^\circ

edit: Τα "μεγάλα πνεύματα" συναντιόνται! Όσο έγραφε τη λύση με τα εμβαδά ο Μιχάλης στη Σαλαμίνα, πληκτρολογούσα κι εγώ στην Κέρκυρα την ίδια λύση!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 01, 2012 9:10 pm

ΑναλυτικοΓεωμετρικά:
01-04-2012 Γεωμετρία.jpg
01-04-2012 Γεωμετρία.jpg (23.29 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές
Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο D είναι E(28, 7), A(0,28) οπότε η AE έχει εξίσωση \displaystyle 
y - 28 =  - \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x + 4y - 112 = 0

Η απόσταση του Z από την AE είναι \displaystyle 
d\left( {Z,\;AE} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 - 112} \right|}}{{\sqrt {4^2  + 3^2 } }} = \frac{{100}}{5} = 20

Η κάθετη από το Z στην AE έχει εξίσωση \displaystyle 
y = \frac{4}{3}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow 4x - 3y - 16 = 0

και την τέμνει στο \displaystyle 
K\left( {16,\;16} \right), οπότε \displaystyle 
\left( {KA} \right) = \sqrt {\left( {28 - 16} \right)^2  + 16^2 }  = 20

άρα \displaystyle 
KAZ ισοσκελές και ορθογώνιο, οπότε \displaystyle 
x = 45^\circ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης