Βρείτε τη γωνία x (115)

Ιστοσελίδα · #1

Καλημέρα και καλό μήνα.

: x115.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και σημεία E,Z

επί των

αντίστοιχα, τέτοια ώστε: $BE = 21,\,ZC = 24$ και ZD = 4

. Βρείτε τη γωνία $x = Z\widehat AE$ .

Ας δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να λύσουμε τη συγκεκριμένη, ομολογουμένως εύκολη, άσκηση!

#2

Ας ξεκινήσουμε με μία Τριγωνομετρική προσέγγιση (με άχρηστα δηλαδή εργαλεία για τους αναμορφωτές του Αναλυτικού προγράμματος της Β΄ Λυκείου το 2010)

Με το σχήμα του Μιχάλη (Καλύτερο ΔΕΝ θα κάναμε !)

Έστω $\displaystyle{ \widehat{DAZ} = \widehat A_1 ,\;\;\widehat{EAB} = \widehat A_2 }$

Είναι $\displaystyle \varepsilon \phi {\rm A}_1 = \frac{4}{{28}} = \frac{1}{7},\;\;\varepsilon \phi {\rm A}_3 = \frac{{21}}{{28}} = \frac{3}{4}$

$\displaystyle x = 90^\circ - \widehat A_1 - \widehat A_2 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \varepsilon \phi x = \varepsilon \phi \left( {90^\circ - \widehat A_1 - \widehat A_2 } \right) = \frac{{\varepsilon \phi \left( {90^\circ - \widehat A_1 } \right) - \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }}{{1 + \varepsilon \phi \left( {90^\circ - \widehat A_1 } \right) \cdot \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }} =$

$\displaystyle = \frac{{\sigma \phi \widehat A_1 - \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }}{{1 + \sigma \phi \widehat A_1 \cdot \varepsilon \phi \widehat{\rm A}_2 }} = \frac{{7 - \frac{3}{4}}}{{1 + 7 \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{{25}}{{25}} = 1$

Άρα $\displaystyle x = 45^\circ$

Antonis_Z · #3

Καλημέρα και καλό μήνα.

Με το Π.Θ εύκολα βρίσκουμε ότι ZE=25

.Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε BI=4

. $\vartriangle ABI=ADZ$ (εύκολο) άρα AI=AZ

και $\angle ZAI=90$ (από στροφή της $\angle DAB$ κατά $\angle DAZ$ μοίρες.
Έχουμε τώρα $\vartriangle ZAE=EAI$ ,γιατί

κοινή,

και

Π-Π-Π.Άρα $\angle ZAE=EAI$ και εύκολα προκύπτει ότι $\angle ZAE=45$ .

#4

Ξανά ΤριγωνομετρικοΓεωμετρικά

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα

$\displaystyle AE = \sqrt {21^2 + 28^2 } = \sqrt {7^2 \cdot \left( {3^2 + 4^2 } \right)} = 35$

$\displaystyle AZ = \sqrt {4^2 + 28^2 } = \sqrt {4^2 \cdot \left( {1 + 7^2 } \right)} = 4\sqrt {50} = 4\sqrt {25 \cdot 2} = 20\sqrt 2$

$\displaystyle ZE = \sqrt {24^2 + 7^2 } = \sqrt {576 + 49} = \sqrt {625} = 25$

Από Ν. Συνημιτόνων στο AZE

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = \frac{{AE^2 + AZ^2 - ZE^2 }}{{2AE \cdot AZ}} = \frac{{1400}}{{2 \cdot 35 \cdot 20\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

άρα $\displaystyle x = 45^\circ$

Να ευχηθώ ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ και καλή και απονήρευτη Προεκλογική Περίοδο δίχως ψεματάκια!

thanasis.a · #5

: DRAW3.png (19.83 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

..καλημέρα και επιτέλους πάντα αλήθειες από ΌΛΟΥΣ ΜΑΣ ....

απο Π.Θ. έχουμε: $AE=35, AZ=20\sqrt{2}$ , επίσης από ομοιότητα $\triangleleft ECP\approx \triangleleft ABE$ έχουμε CP=28/3 , EP=35/3

..
Τελειώνοντας από $\triangleleft AZP$ , $\left(AZP\ \right)= 1/2\cdot AD\cdot ZP=1/2\cdot AZ\cdot AP\cdot\sin Z\hat{A}P$ $\Rightarrow$ ....... $\sin Z\hat{A}P=1/\sqrt{2}$ .... $\hat{x}=45^{\circ}$ .-

KARKAR · #6

Ορίζουμε το

. Είναι $AE\perp ZS$ ( απλές πράξεις ) και επειδή ZAS

ορθογώνιο και ισοσκελές ...

#7

Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάτι πρόμοιο. Να θυμίσω και τη λύση:
ZE=25

από Πυθαγόρειο Θεώρημα, επομένως το σημείο

είναι παράκεντρο του τριγώνου BCD

, καθώς η

ισούται με την ημιπερίμετρο του τριγώνου CEZ

. Επομένως η ζητούμενη γωνία, ισούται με $90^0-\frac{\widehat{C}}{2}$ .

Ιστοσελίδα · #8

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Νομίζω έχουμε ξαναδεί κάτι πρόμοιο.

Καταρχήν να σας ευχαριστήσω όλους για τις όμορφες λύσεις. Ο Ανδρέας έχει δίκιο. Το θέμα βρίσκεται καμουφλαρισμένο εδώ.

: x115-sol.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Μπορούμε να το λύσουμε και με εμβαδά και Πυθαγόρειο Θεώρημα, παίρνοντας κατόπιν πράξεων τη σχέση $\left( {AZE} \right) = \displaystyle\frac{{20\sqrt 2 \cdot 35\eta \mu x}}{2} = 350$ , απ’ όπου παίρνουμε $\eta \mu x = \displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow x = {45^ \circ }$ .

#9

Ακόμη μια προσέγγιση:

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα

$\displaystyle AE = \sqrt {21^2 + 28^2 } = \sqrt {7^2 \cdot \left( {3^2 + 4^2 } \right)} = 35$

$\displaystyle AZ = \sqrt {4^2 + 28^2 } = \sqrt {4^2 \cdot \left( {1 + 7^2 } \right)} = 4\sqrt {50} = 4\sqrt {25 \cdot 2} = 20\sqrt 2$

Είναι: $\displaystyle \left( {AZE} \right) = \left( {ABCD} \right) - \left( {ADZ} \right) - \left( {ABE} \right) - \left( {ZEC} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}20\sqrt 2 \cdot 35 \cdot \sin x = 28^2 - \frac{{4 \cdot 28}}{2} - \frac{{21 \cdot 28}}{2} - \frac{{24 \cdot 7}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

άρα $\displaystyle x = 45^\circ$

edit: Τα "μεγάλα πνεύματα" συναντιόνται! Όσο έγραφε τη λύση με τα εμβαδά ο Μιχάλης στη Σαλαμίνα, πληκτρολογούσα κι εγώ στην Κέρκυρα την ίδια λύση!

#10

ΑναλυτικοΓεωμετρικά:

: 01-04-2012 Γεωμετρία.jpg (23.29 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο

είναι

οπότε η

έχει εξίσωση $\displaystyle y - 28 = - \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x + 4y - 112 = 0$

Η απόσταση του

από την

είναι $\displaystyle d\left( {Z,\;AE} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 - 112} \right|}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }} = \frac{{100}}{5} = 20$

Η κάθετη από το

στην

έχει εξίσωση $\displaystyle y = \frac{4}{3}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow 4x - 3y - 16 = 0$

και την τέμνει στο $\displaystyle K\left( {16,\;16} \right)$ , οπότε $\displaystyle \left( {KA} \right) = \sqrt {\left( {28 - 16} \right)^2 + 16^2 } = 20$

άρα $\displaystyle KAZ$ ισοσκελές και ορθογώνιο, οπότε $\displaystyle x = 45^\circ$

Βρείτε τη γωνία x (115)

Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Re: Βρείτε τη γωνία x (115)

Μέλη σε σύνδεση