Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5373
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιαν 16, 2009 7:14 pm

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒC με υποτείνουσα ΒC. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

\angle ABM = \angle MCB = 30

Να αποδειχθεί ότι το Μ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν δεν προκύψει πιο απλή λύση από τη δική μου, θα την μετακινήσω στο φάκελο των Ολυμπιάδων.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 16, 2009 7:45 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒC με υποτείνουσα ΒC. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

\angle ABM = \angle MCB = 30

Να αποδειχθεί ότι το Μ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.

Μπαμπη,

δεν έκανα τις πράξεις αλλά μου φαίνεται απλή με Αναλυτική Γεωμετρία:

Θεωρούμε άξονες συντεταγμένων τις κάθετες πλευρές οπότε Α(0,0), Β(1,0), C(0,1).
Αν το Μ είναι M(a, b) , τότε οι συνθήκες δίνουν
\frac{b-0}{a-1}= -\frac{\sqrt{3}}{3} και

\frac{b-1}{a-0}= tan(45-30) = γνωστό.

Λύνουμε τώρα το γραμμικό σύστημα ως προς a, b και λοιπά.

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3930
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιαν 16, 2009 7:49 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒC με υποτείνουσα ΒC. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

\angle ABM = \angle MCB = 30

Να αποδειχθεί ότι το Μ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν δεν προκύψει πιο απλή λύση από τη δική μου, θα την μετακινήσω στο φάκελο των Ολυμπιάδων.
Με αναλυτική νομίζω ότι είναι απλή. Με αρχή των αξόνων το σημείο A και με κατακόρυφους άξονες τους AB και AC και θεωρώντας B(1,0) και C(0,1) παίρνουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας MC είναι -\tan{75^{\circ}}=-\frac{6+\sqrt{3}}{3} άρα η εξίσωσή της είναι y=-\frac{6+\sqrt{3}}{3} και όμοια ο συντελεστής διεύθυνσης της MB είναι -\tan{30^{\circ}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}, συνεπώς η εξίσωσή της είναι
y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1). Λύνοντας το σύστημα αυτών βρίσκουμε την τετμημένη του M να είναι ίση με \frac{1}{2} που δείχνει ότι το M ανήκει στη μεσοκάθετη του AB δηλαδή φανερά στο τμήμα που ενώνει τα μέσα των AB, BC.

Τώρα που ξέρουμε που κινούμαστε πάμε για την καθαρή γεωμετρική απόδειξη... ;)

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2053
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιαν 16, 2009 10:17 pm

Ας δούμε μία λύση με στοιχειώδη μέσα.

Έστω O,\ P, τα μέσα αντιστοίχως των πλευρών BC,\ AC, του δοσμένου ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου \bigtriangleup ABC, με AB = AC.

Δια της κορυφής C, φέρνουμε ευθεία Cx έτσι ώστε να είναι \angle BCx = 30^{o} και έστω το σημείο M\equiv OP\cap Cx.

Θα αποδείξουμε ότι \angle ABM = 30^{o}.

Έστω D,\ E, οι ορθές προβολές του M, επί των BC,\ AO αντιστοίχως και N, το συμμετρικό του ως προς το σημείο E.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup DMC με \angle DCM = 30^{o}, έχουμε ως γνωστό, MC = 2(MD) ,(1)

Από (1) \Longrightarrow MC = 2(ME) = MN = BN ,(2) λόγω MD = ME και της ευθείας OE, ως άξονα συμμετρίας στο τραπέζιο BCMN.

Από (2) \Longrightarrow \angle NBM = \angle NMB = \angle MBC ,(3) ( από MN\parallel BC )

Από (3) και επειδή \angle NBC = \angle MCB = 30^{o}, προκύπτει \angle MBC = 15^{o} ,(4)

Από (4) και επειδή \angle ABC = 45^{o} \Longrightarrow \angle ABM = 30^{o} και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Σάβ Ιαν 17, 2009 7:31 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Ιαν 16, 2009 10:18 pm

[quote="Μπάμπης Στεργίου"]Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒC με υποτείνουσα ΒC. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

\angle ABM = \angle MCB = 30

Να αποδειχθεί ότι το Μ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.



Καλησπέρα σε όλους
Μία ακόμη προσέγγιση της άσκησης
rectangular isosceles.png


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5373
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 17, 2009 8:27 am

Καλημέρα !

Εξαιρετικές λύσεις ! Η άσκηση είναι από ένα διαγωνισμό του 2008. Προσπαθούσα να βρω τελείως γεωμετρική λύση, όπως αυτή του Κώστα Βήττα. Η ποκιλία των λύσεων είναι πολύ θετικό στοιχείο, διότι είναι ακριβώς αυτό που αρέσει και στους μαθητές.
Χαίρομαι που τελικά βρέθηκαν τόσες προσεγγίσεις !

Καλημέρα ..... και καλό Σαββατοκύριακο!


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Σάβ Ιαν 17, 2009 11:17 am

Καλημέρα
Δίνω ακόμη μία λύση χωρίς χρήση νόμου ημιτόνων και γενικότερα τριγωνομετρίας

Έστω ΑΓ=ΑΒ=α τότε ΒΓ=α \sqrt 2
Προεκτείνω την ΓΜ προς το μέρος του Μ και φέρω την προς αυτή κάθετη ΒΗ.
Είναι ΗΜΒ=30+15=45 (εξωτερική γωνία στο τριγΓΜΒ) --- >ΜΒΗ=45 (1) ΗΒΓ=60(2)
(1) --> ΗΒ=ΗΜ (3) και από (2) στο τριγ ΓΗΒ --- >ΗΒ=ΓΒ:2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} (4) (αφού ΗΒ απέναντι από Γ=30)
Άρα από 3 και 4 προκύπτει \ MB^2  = BH^2  + MB^2  \Leftrightarrow MB^2  = 2\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2  \Leftrightarrow MB = a = AB δηλαδή ΜΒ=ΑΒ (και από δώ και κάτω η απόδειξη ακολουθεί τον ίδιο δρόμο με την προηγούμενη αφού ΑΜΒ ισοσκελές και τελειώνει) ή φέρω ΜΘ κάθετο στην ΑΒ η οποία βρίσκεται απεναντι από 30 στο ορθογωνιο ΜΘΒ και επομένως ΜΘ=ΜΒ/2=α/2 δηλαδή το Μ βρίσκεται σε σχέση με την ΑΒ σε ύψος α/2 . οεδ
rectangular isosceles2.png
Καλημέρα σας
Π.Γ


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2053
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιαν 17, 2009 8:25 pm

Ας δούμε και μία άλλη προσέγγιση, εμπνευσμένη από το σχήμα της πρώτης λύσης του math_finder.

Δια της κορυφής C, φέρνουμε την ευθεία Cx, έτσι ώστε να είναι \angle BCx = 30^{o} και έστω το σημείο M\equiv HI\cap Cx, όπου H,\ I είναι αντιστοίχως τα μέσα των πλευρών AC,\ BC.

Θα αποδείξουμε ότι \angle ABM = 30^{o}.

Η μεσοκάθετη του AM, τέμνει τις πλευρές AB,\ AC, στα σημεία B\acute{},\ K αντιστοίχως και από \angle AMB\acute{} = \angle MAB\acute{} = 90^{o} - 15^{o} = 75^{o}, συμπεραίνουμε ότι \angle AB\acute{}M = 30^{o} ,(1)

Από τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα \bigtriangleup ACN,\ \bigtriangleup AB\acute{}K, όπου N\equiv AB\cap CM, συμπεραίνουμε ότι AC = AB\acute{} ,(2) ( \angle ACN = 15^{o} = \angle AB\acute{}K ).

Από (2) και από AC= AB, προκύπτει ότι B\acute{}\equiv B. ,(3)

Από (1),\ (3) \Longrightarrow \angle ABM = 30^{o} και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Κυρ Ιαν 18, 2009 1:57 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4498
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 18, 2009 9:52 am

Ο φίλος Λεωνίδας Θαρραλίδης μου έστειλε μία ακόμα γεωμετρική λύση στο πρόβλημα του Μπάμπη.

Την επισυνάπτω:

Το περίκεντρο Ο του τριγώνου CMB βρίσκεται στη μεσοκάθετο του CB κι επειδή \widehat{CMB}=135^{0}, το τόξο CMB του κύκλου είναι 90^{0}.
Έτσι \widehat{COB}=90^{0} οπότε το Ο είναι η τέταρτη κορυφή του τετραγώνου ABOC και OC=OM=OB.
Το τρίγωνο ΜΟΒ είναι τελικά ισόπλευρο αφού \widehat{MBO} = 45^o  + 15^o  = 60^o.
Έτσι το Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΟΒ, η οποία προφανώς διέρχεται από τα μέσα των CA, CB.
TharraLeo.PNG
TharraLeo.PNG (11.14 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2053
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Ιαν 18, 2009 2:37 pm

Γιώργο, πολύ όμορφη η λύση του Λεωνίδα Θαρραλίδη, βασισμένη στην ιδέα του περίκυκλου του τριγώνου \bigtriangleup BMC.

Εναλλακτικά, μπορούμε επίσης να πούμε ότι ο κύκλος αυτός εφάπτεται των πλευρών AB,\ AC του \bigtriangleup ABC, στα σημεία B,\ C αντιστοίχως ( από \angle MCB = 30^{o} = \angle ABM και \angle MBC = 15^{o} = \angle ACM ) και έτσι προκύπτει άμεσα το κέντρο του O, ως η τέταρτη κορυφή του τετραγώνου ABOC.

Κώστας Βήττας.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Σάβ Μάιος 04, 2013 7:18 pm

Αν N μέσο της BC αρκεί να δείξω ότι γων MNC=45^0 (οπότε η NM ως παράλληλη προς την BA θα διέρχεται από το μέσο E της AC)

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τργ NCD. Είναι MC διχοτόμος της γων BCD και BDC=90^0 αφού DN=NC=BN=BC:2 (1)

Στο ορθ τργ BDC έχουμε γων DBC=90^0-C=30^0 συνεπώς DBM=15^0 άρα BM διχοτόμος της γων DBC και M έγκεντρο του τργ BDC.

Άρα DM διχοτόμος της γων BDC και επομένως BDM=MDC=90^0:2=45^0 (2)

γων BDN=NBD=30^0 (αφού BN=ND) άρα γωνNDM=BDM-BDN=45^0-30^0=15^0=NBM

με αποτέλεσμα να είναι BNMD εγγράψιμο και ισοδύναμα γων MNC=BDM=45^0 οεδ.


Υ.Γ
Παρμενίδη, δεν βρήκα τις παλιές. Αυτή είναι καινούργια.
Συνημμένα
ορθ  -  ισοσκελές.png
ορθ - ισοσκελές.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές
τελευταία επεξεργασία από p_gianno σε Δευ Μάιος 06, 2013 8:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6890
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 05, 2013 11:40 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒC με υποτείνουσα ΒC. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

\angle ABM = \angle MCB = 30

Να αποδειχθεί ότι το Μ βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν δεν προκύψει πιο απλή λύση από τη δική μου, θα την μετακινήσω στο φάκελο των Ολυμπιάδων.
Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά .
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (26.62 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές
Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου BC = 2R, κέντρου O που προφανώς θα περνά

από το A , έστω δε T το σημείο τομής της προέκτασης του CM με το ημικύκλιο.

Επειδή \widehat {TCB} = {30^0} το τρίγωνο OTB είναι ισόπλευρο . Επειδή \widehat {BTC} = {90^0} ( βαίνει

σε ημικύκλιο ) και \widehat {TBM} = {60^0} - {15^0} = {45^0} το τρίγωνο TBM είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές με κορυφή το T . Έτσι TM = TB και αφού το τρίγωνο OTB είναι

ισόπλευρο θα έχουμε \boxed{TO = TM} . Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο TOM με γωνία

κορυφής στο T , {30^0} η κάθε μια παρά την βάση του γωνία θα είναι από {75^0} .

Άμεση συνέπεια :

\widehat \theta  = {180^0} - {75^0} - {60^0} \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = {{45}^0}} \Rightarrow OM//BA που αποδεικνύει το ζητούμενο .


Φιλικά Νίκος


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1082
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Δευ Μάιος 06, 2013 12:19 am

ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΝΕΣΤΗ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!
Άλλη μία αντιμετώπιση:
Έστω D το συμμετρικό του A ως προς BC. Κατασκευάζοντας εσωτερικά του τετραγώνου ABDC, ισόπλευρο τρίγωνο με βάση την BD, προκύπτει εύκολα με υπολογισμό γωνιών, ότι η τρίτη κορυφή είναι το σημείο M. Επομένως το M βρίσκεται στη μεσοκάθετο της AC.
Συνημμένα
ορθογώνιο ισοσκελές.png
ορθογώνιο ισοσκελές.png (4.48 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1725
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 07, 2013 4:01 am

Μια λύση ακόμη.

\textrm{AD}\perp \textrm{BC}\Rightarrow \textrm{D} μέσον της \textrm{BC}, \angle ABC=45^{0}.
\textrm{BZ}\perp \textrm{CM},\textrm{BZ}\cap \textrm{DA}=\textrm{E}.Επειδή \angle ZMB=30^{0}+15^{0}=45^{0}\Rightarrow \angle ZBM=45^{0} κι αφού \angle MBC=15^{0}\Rightarrow \angle EBD=60^{0},\angle BED=30^{0}.Όμως \textrm{ED} μεσοκάθετος της \textrm{BC} οπότε το τρίγωνο \textrm{BEC} είναι ισόπλευρο άρα \textrm{CZ} μεσοκάθετος της \textrm{EB} κι έτσι \textrm{EM=MB}.
Αφού δε, \angle EBM=45^{0}\Rightarrow \textrm{EM}\perp \textrm{BM}\Rightarrow \textrm{EBDM} εγγράψιμο, οπότε \angle MDC=\angle BEM=45^{0}\Rightarrow \textrm{DM//\textrm{AB}} κι αφού \textrm{D} μέσον της \textrm{BC}\textrm{DM} διέρχεται από το μέσον \textrm{N} της \textrm{AC} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Συνημμένα
1.png
1.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 486
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Τρί Μάιος 07, 2013 6:40 pm

draw1.png
draw1.png (21.67 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές
..καλησπέρα.. με άλλη μία προσέγγιση,

έστω το τρίγωνο ότι έχει κάθετες πλευρές μήκους 2\alpha. Έστω επίσης ότι K μέσο της AC και έστω H\equiv BM\bigcap{AC},\,\,\,L\equiv KM\bigcap{CB},\,\,\,P\equiv CM\bigcap{AB}.

Επειδή \displaystyle\bigtriangleup AHB: \hat{A}=90^{\circ} \Rightarrow \tan \hat{ABH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow ..\Rightarrow AH=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \alpha και HC=\displaystyle AC-HA\Rightarrow HC=\frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\cdot \alpha.

Επίσης από το \displaystyle\bigtriangleup APC:\hat{ACP}=15^{\circ} \,\,\,\,(\tan 15=2-\sqrt{3})\Rightarrow \tan 15=\frac{AP}{AC}

\displaystyle\Rightarrow ...AP=2(2-\sqrt{3})\cdot \alpha \Rightarrow BP=2\alpha -AP\Rightarrow ..BP=2(\sqrt{3}-1)\cdot \alpha.

Εφαρμόζοντας τέλος το Θ. Μενελάου στο \bigtriangleup ACP με διατέμνουσα την BMH\displaystyle\Rightarrow \frac{BA}{BP}\cdot\frac{ MP}{MC}\cdot \frac{HC}{HA}\Rightarrow ....\frac{MP}{MC}=1\Rightarrow MP=MC.

Έτσι λοιπόν KM\parallel AB\Rightarrow με K,M μέσα των AC,CP αντίστοιχα και άρα L:CL=LB οπότε το M είναι σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία που περνά από τα μέσα των δυο πλευρών του αρχικού τριγώνου.


tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Μάιος 15, 2013 10:42 am

ΛΥΣΗ 1η
(με γεωμετρία Α΄)
Θεωρούμε , από το C ευθεία τέτοια ώστε:
B\hat CE = 15^o , Ε το σημείο τομής με την ΑΒ και έστω Κ το μέσο του .
Είναι:

\left. \begin{array}{l} 
 \hat E = 30^o  \\  
 {\rm E}C||{\rm B}{\rm M} \\  
 EK = KC = AK = AB \\  
 \end{array} \right\} \Rightarrow CK|| = BM \Rightarrow BK|| = \frac{{CN}}{2}
Συνημμένα
45-45.png
45-45.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές


tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Μάιος 15, 2013 10:49 am

ΛΥΣΗ 2η (με γεωμετρία Β΄)
Θεωρούμε σημείο Ζ του BC τέτοιο ώστε: CM=MZ.

BZ = ZM = MC\mathop {{\rm{  }} \Rightarrow }\limits^ *  BZM = AMC \Rightarrow AM = MC = MN

Στο τρίγωνο ΒΜΖ είναι:
{\rm B}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm M} = {\rm Z}C\sqrt 3  \Rightarrow BM = AC
Συνημμένα
4545.png
4545.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές


tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο !

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Μάιος 15, 2013 11:03 am

ΛΥΣΗ 3η
(με γεωμετρία Β΄)

\frac{{(BNM)}}{{(BMC)}} = \frac{{{\rm B}{\rm N} \cdot {\rm B}{\rm M}\eta \mu 30^o }}{{{\rm B}{\rm M} \cdot {\rm B}C\eta \mu 15^o }} = \frac{{2{\rm B}{\rm N} \cdot \sigma \upsilon \nu 15^o }}{{{\rm B}C}} = \frac{{2BH}}{{BC}} = 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}MC = MN
Συνημμένα
15-45.png
15-45.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες