Βρείτε τη γωνία x (125)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία x (125)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 07, 2012 10:33 pm

x125.png
x125.png (23.57 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με \widehat B = {45^ \circ } και σημείο D επί της AB, τέτοιο ώστε D\widehat CB = {15^ \circ } και AD = 2DB = 2k. Βρείτε τη γωνία x = \widehat A.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
ΛΕΩΝΙΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 04, 2010 12:21 am

Re: Βρείτε τη γωνία x (125)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΩΝΙΔΑΣ » Κυρ Οκτ 07, 2012 11:19 pm

Φέρω AE\perp DC οπότε αφού \angle ADC=\angle DBC+ \angle DCB=60^{\circ} θα είναι \angle EAD=30^{\circ} και άρα DE=\frac{DA}{2}=k.

Αν φέρουμε τώρα την BE βλέπουμε ότι \angle DBE=\angle DEB=\frac{180-120}{2}=30^{\circ}=\angle EAD. Άρα το \triangle AEB είναι ισοσκελές με AE=BE . Ακόμα είναι \angle EBC=\angle ECB=15^{\circ} άρα \triangle EBC ισοσκελές με BE=EC.

Από αυτήν και από την προηγούμενη σχέση συμπεραίνουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο AEC είναι ισοσκελές άρα τελικά x=30+45=75^{\circ}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (125)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Οκτ 08, 2012 7:44 am

Καλημέρα. Ένα σχήμα για την όμορφη λύση του Λεωνίδα.
ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Φέρω AE\perp DC οπότε αφού \angle ADC=\angle DBC+ \angle DCB=60^{\circ} θα είναι \angle EAD=30^{\circ} και άρα DE=\frac{DA}{2}=k.

Αν φέρουμε τώρα την BE βλέπουμε ότι \angle DBE=\angle DEB=\frac{180-120}{2}=30^{\circ}=\angle EAD. Άρα το \triangle AEB είναι ισοσκελές με AE=BE . Ακόμα είναι \angle EBC=\angle ECB=15^{\circ} άρα \triangle EBC ισοσκελές με BE=EC.

Από αυτήν και από την προηγούμενη σχέση συμπεραίνουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο AEC είναι ισοσκελές άρα τελικά x=30+45=75^{\circ}
x125-sol.png
x125-sol.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6455
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία x (125)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 08, 2012 3:32 pm

Μιχάλη και Λεωνίδα γεια σας.
Η άσκηση υπάρχει (άλυτη ) και στο βιβλίο της Α Λυκείου του (Αριστούχου μαθηματικού) Α. Κ. Κυριακόπουλου (382 σελίδα 114). Μετά την ωραία λύση του Λεωνίδα, ας δούμε και μια ακόμη άποψη( όχι τόσο ωραία) .
[attachment=0]breite_gonia.png[/attachment]
Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DBC , κι έστω K το κέντρο του .

Έστω ακόμα E το σημείο τομής της ακτίνας KD με την BC και M,N τα μέσα

των DA,EC αντίστοιχα.

Επειδή η επίκεντρος γωνία είναι διπλάσια από την αντίστοιχη εγγεγραμμένη θα ισχύουν:

D\hat KB = {30^0},D\hat KC = {90^0} . Άμεσες συνέπειες ως προς τις γωνίες τους για τα

τρίγωνα KBD,KEC,EBK:

KBD({30^0}{,75^0}{,75^0}),KEC({90^0}{,60^0}{,30^0}),EBK({120^0}{,30^0}{,30^0}).

Συνεπώς BE = EN = NC και αφού ισχύει BD = DM = MA θα έχουμε:

DE//MN/AC οπότε \hat A = B\hat DK = {75^0}

Καλό μεσημέρι

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
breite_gonia.png
breite_gonia.png (7.16 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Αύγ 28, 2015 1:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία x (125)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Οκτ 08, 2012 4:25 pm

Doloros έγραψε:Μιχάλη και Λεωνίδα γεια σας.
Η άσκηση υπάρχει (άλυτη) και στο βιβλίο της Α Λυκείου του (Αριστούχου μαθηματικού) Α. Κ. Κυριακόπουλου (382 σελίδα 114).
Νίκο καλό μεσημέρι και σ' ευχαριστώ για την πληροφορία...η πηγή μου έγραφε American Mathematics Contest 12 (2001) και υπήρχε μόνο τριγωνομετρική λύση. Η λύση μου συνέπεσε με του Λεωνίδα και γι' αυτό το λόγο ανάρτησα το σχήμα (μια που το είχα έτοιμο) :) .
Doloros έγραψε:Μιχάλη και Λεωνίδα γεια σας.
Μετά την ωραία λύση του Λεωνίδα, ας δούμε και μια ακόμη άποψη (όχι τόσο ωραία) .
Διαφωνώ με την "άποψη (όχι τόσο ωραία)"...κάθε λύση έχει τη δική της αξία και ομορφιά!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης