Ίσοι και εφαπτόμενοι

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6780
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ίσοι και εφαπτόμενοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 22, 2012 1:54 am

Ίσοι και εφαπτόμενοι_1.png
Ίσοι και εφαπτόμενοι_1.png (29.32 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Σε τρίγωνο ABC φέρνουμε την διχοτόμο AD . Στην προέκταση της AB προς το B έστω σημείο E τέτοιο ώστε BE = BD και στην πλευρά AC σημείο Z τέτοιο ώστε CZ = CD . Έστω E',Z' τα συμμετρικά των E,Z αντίστοιχα με άξονα συμμετρίας την ευθεία AD. Να δειχθεί ότι οι κύκλοι:
(C) που ορίζουν τα σημεία D,E,Z' και (C') που ορίζουν τα σημεία D,Z,E'
Είναι ίσοι και εφάπτονται μεταξύ τους.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 22, 2012 8:04 pm

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Ίσοι και εφαπτόμενοι_1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο ABC φέρνουμε την διχοτόμο AD . Στην προέκταση της AB προς το B έστω σημείο E τέτοιο ώστε BE = BD και στην πλευρά AC σημείο Z τέτοιο ώστε CZ = CD . Έστω E',Z' τα συμμετρικά των E,Z αντίστοιχα με άξονα συμμετρίας την ευθεία AD. Να δειχθεί ότι οι κύκλοι:
(C) που ορίζουν τα σημεία D,E,Z' και (C') που ορίζουν τα σημεία D,Z,E'
Είναι ίσοι και εφάπτονται μεταξύ τους.
3.png
3.png (32.33 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
1) Τα τρίγωνα \displaystyle{\vartriangle AZZ',\vartriangle AEE'} είναι ισοσκελή ( \displaystyle{AZ'',AE'',\,\,\left( {Z'' \equiv AD \cap ZZ',E'' \equiv AD \cap EE'} \right)}) ( συγχρόνως διχοτόμοι και διάμεσοι) αντίστοιχα

και συνεπώς το τραπέζιο \displaystyle{ZZ'EE'\left( {ZZ'\parallel EE'} \right)} είναι ισοσκελές και \displaystyle{AD} μεσοκάθετος στις βάσεις του \displaystyle{ZZ',EE'} οπότε:

\displaystyle{Z'E = ZE',DZ' = DZ,DE = DE'\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi  - \Pi  - \Pi } \vartriangle DEZ' = \vartriangle DZE'} άρα και οι περίκυκλοι \displaystyle{\left( C \right)}, \displaystyle{\left( {C'} \right)} των εν' λόγω τριγώνων αντίστοιχα είναι ίσοι μεταξύ τους.

2) Είναι \displaystyle{CD = CZ \Rightarrow \vartriangle CDZ} ισοσκελές άρα \displaystyle{\boxed{\angle DZE' \equiv \angle DZC = {{90}^0} - \frac{{\angle C}}{2}}:\left( 1 \right)} και \displaystyle{\angle E''DE'\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ADC} \angle DAC + \angle ZE'D \Rightarrow }

\displaystyle{\boxed{\angle E''DE'\mathop  = \limits^{\angle DAC = \frac{{\angle A}}{2},\angle ZE'D = \angle DEB} \frac{{\angle A}}{2} + \angle DEB}:\left( 2 \right)}.Με \displaystyle{BE = BD \Rightarrow \vartriangle BED} ισοσκελές οπότε: \displaystyle{\angle B\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta } 2\left( {\angle DEB} \right) \Rightarrow \angle DEB = \frac{{\angle B}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} }

\displaystyle{\angle E''DE' = \frac{{\angle A}}{2} + \frac{{\angle B}}{2} = {90^0} - \frac{{\angle C}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{\angle DZE' = \angle E''DE'}} και επομένως ο κύκλος \displaystyle{\left( {C'} \right)} εφάπτεται της \displaystyle{AD} στο σημείο \displaystyle{D}

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και ο κύκλος \displaystyle{\left( C \right)} εφάπτεται της \displaystyle{AD} στο σημείο \displaystyle{D}, οπότε οι κύκλοι \displaystyle{\left( C \right)} και \displaystyle{\left( {C'} \right)} εφάπτονται και μεταξύ τους στο \displaystyle{D}

(έχουν στο σημείο αυτό κοινή εφαπτόμενη την \displaystyle{AD} ) και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Μαρ 17, 2013 10:54 pm

μια σύντομη απάντηση για την μισή άσκηση

οι δύο κύκλοι είναι ίσοι γιατί είναι οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι ίσων τριγώνων λόγω αξονικής συμμετρίας
πιο αναλυτικά τα τρίγωνα \displaystyle{DEZ, DE'Z'} είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία \displaystyle{AD} οπότε θα είναι ίσα,
συνεπώς θα έχουν ίσους και τους περιγγεγραμμένους κύκλους τους


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 18, 2013 7:36 am

Καλημέρα και καλή σαρακοστή.

Λόγω καθετότητας των \displaystyle{EE',ZZ'} επί της διχοτόμου \displaystyle{AD} τα τρίγωνα \displaystyle{AZZ’,AEE’} είναι ισοσκελή . Έτσι \displaystyle{AE - AZ' = AE' - AZ \Rightarrow Z'E = ZE'}.Ακόμη \displaystyle{Z'D = DZ,DE = DE'} (αφού το D είναι σημείο της μεσοκάθετης των \displaystyle{ZZ’,EE’} ).Συνεπώς τα τρίγωνα \displaystyle{Z’ED,ZDE’} είναι ίσα άρα και οι περιγεγραμμένοι τους κύκλοι ίσοι.
Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle{BDE} θα είναι \displaystyle{\angle BED = \angle \frac{B}{2}} Άρα και \displaystyle{\angle DE’Z = \angle \frac{B}{2}}.Ακόμη \displaystyle{\angle EZ'D = \angle DZE'}
Τώρα στην προέκταση της \displaystyle{ZC} θεωρώ σημείο \displaystyle{H} ώστε \displaystyle{ZC=CH} οπότε \displaystyle{\angle ZDH = {90^0}} και \displaystyle{\angle DHZ = \angle \frac{C}{2}} .Έτσι θα είναι \displaystyle{\angle DZH = \angle DZ'E = \angle \frac{A}{2} + \frac{B}{2}} κι αφού\displaystyle{\angle DAZ = \frac{A}{2}}θα είναι \displaystyle{\angle ADZ = \angle ADZ' = \angle \frac{B}{2}} .Έτσι η \displaystyle{AD} είναι εφαπτόμενη και των δύο κύκλων (αφού \displaystyle{\angle Z'ED = \angle Z'DA = \frac{B}{2},\angle ZE'D = \angle ZDA = \frac{B}{2}} )
Συνημμένα
ISOI-ef.png
ISOI-ef.png (26.71 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης