Βρείτε το εμβαδόν (24)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το εμβαδόν (24)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Φεβ 17, 2013 10:58 pm

area24.png
area24.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές
Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD τα M,N είναι τα μέσα των AD,BC αντίστοιχα. Αν E \equiv AN \cap BM,\,\,Z \equiv CM \cap DN και (ABE) = 12,\,(EMZN) = 28, βρείτε το (ZDC) = x.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3925
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Φεβ 18, 2013 7:02 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD τα M,N είναι τα μέσα των AD,BC αντίστοιχα. Αν E \equiv AN \cap BM,\,\,Z \equiv CM \cap DN και (ABE) = 12,\,(EMZN) = 28, βρείτε το (ZDC) = x.
3.png
3.png (30.03 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές
Ας είναι AA' \bot BC,MM' \bot BC,DD' \bot BC με A',B',C' \in BC. Τότε από το τραπέζιο AA'D'D\left( {AA'\parallel DD'} \right) με M το μέσο της AD και

MM'\parallel AA'\parallel DD' προκύπτει ότι η MM' είναι η διάμεσός του και επομένως θα ισχύει: \boxed{\left( {AA'} \right) + \left( {DD'} \right) = 2\left( {MM'} \right)}:\left( 1 \right).

Τότε: \left( {ABN} \right) + \left( {CDN} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BN} \right) \cdot \left( {AA'} \right)}}{2} + \displaystyle\frac{{\left( {CN} \right) \cdot \left( {DD'} \right)}}{2} \mathop  = \limits^{N\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BC \Rightarrow \left( {BN} \right) = \left( {CN} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{2}} \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {AA'} \right)}}{4} + \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {DD'} \right)}}{4} =

\displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{4} \cdot \left[ {\left( {AA'} \right) + \left( {DD'} \right)} \right]\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{4} \cdot 2\left( {MM'} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {MM'} \right)}}{2} = \left( {MBC} \right) \Rightarrow \left( {ABN} \right) + \left( {CDN} \right) = \left( {MBC} \right) \Rightarrow

\left( {ABN} \right) + \left( {BEN} \right) + \left( {CZD} \right) + \left( {CZN} \right) = \left( {BEN} \right) + \left( {CZN} \right) + \left( {MENZ} \right) \Rightarrow \left( {ABN} \right) + \left( {CZD} \right) = \left( {MENZ} \right) \Rightarrow \left( {CZD} \right) = \left( {MENZ} \right) - \left( {ABN} \right)

\Rightarrow \left( x \right) = 28 - 12 \Rightarrow \boxed{\left( x \right) = 16} και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10568
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 18, 2013 7:09 pm

ΕΜΒΑΔΟΝ 16.png
ΕΜΒΑΔΟΝ 16.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές
Ας τουμπάρουμε το σχήμα και ας φέρουμε τα ύψη AA',MM',DD' . Θα δείξουμε ότι (AEB)+(DZC)=(MENZ)

και άρα x=16 . Πράγματι : \displaystyle (AEB)=\frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot AA'-E' και \displaystyle (DZC)=\frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot DD'-E ,

οπότε το άθροισμά τους είναι : \displaystyle \frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot (AA'+DD')-E'-E . Επίσης είναι

\displaystyle (MENZ)=\frac{1}{2}\cdot CB}\cdot MM'-E'-E και επειδή AA'+DD'=2MM' τελειώσαμε ..


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Φεβ 19, 2013 7:24 am

Θανάση και Στάθη καλημέρα και σας ευχαριστώ. Δίνω και τη δική μου προσέγγιση, χρησιμοποιώντας το γνωστό κινέζικο απόφθεγμα...
area24-sol.png
area24-sol.png (70.47 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6455
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 19, 2013 7:50 am

Καλημέρα

Λύσεις υπέροχες . Του Μιχάλη Μαγεία !!

Φιλικά Νίκος


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Τρί Φεβ 19, 2013 3:46 pm

.
Θα δείξουμε ότι (DZC)+(AEB)=(MZNE)

Φέρω CT//BS//DA οπότε TN  =NS (1) .

Είναι (DZC)+(AEB)=(MZNE)  \leftrightarrow

(DZC)+(DZM)+(AEB)+(MEA)=(MZNE) + ( DZM)+(MEA) \leftrightarrow

(DCM)+(MBA)=(DNA) \leftrightarrow (DTM)+(ASM)=(DNA)   \leftrightarrow

(DNM)-(DTN)+(MNA)+(ANS)=(DNA)^* \leftrightarrow

(DNM)+(MNA)=(DNA) που ισχύει.


Εύκολα από τα δεδομένα αντικαθιστώντας στην αποδεικτέα παίρνουμε (DZC)=16


^* (DTN)=(ANS) (ίσες βάσεις λόγω 1 και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού AM=DM)
Συνημμένα
embada 24.png
embada 24.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1080
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Τετ Φεβ 20, 2013 12:06 am

Καλησπέρα σε όλους, και ελπίζω να τα πούμε με τους περισσότερους στην Αθήνα στον Αρχιμήδη.
Μία λίγο διαφορετική αντιμετώπιση με κοινά στοιχεία με την καταπληκτική λύση του Μιχάλη, για να θυμηθούμε και δύο άλλα χρήσιμα λήμματα που έχουμε ξαναθίξει:
1. \displaystyle{(MDNB)=(MANC)=\frac{(ABCD)}{2}}
Απόδειξη:
\displaystyle{(MDNB)=((DNB)+(DMB)=\frac{(DBC)}{2}+\frac{(DBA)}{2}=\frac{(ABCD)}{2}}
και όμοια για το (MANC).
2. (ADN)+(BCM)=(ABCD)
Προκύπτει άμεσα από το προηγούμενο, καθώς (ADN)+(BCM)=(MDNB)+(MANC)=(ABCD)
3. (ABE)+(DCZ)=(MENZ), καθώς (ABCD)=(ADN)+(BCM)-(MENZ)+(ABE)+(DCZ)
Οπότε x=28-12=16.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Φεβ 20, 2013 8:32 pm

Καλησπέρα.Ενα μικρό σχόλιο
Έχει ενδιαφέρον νομίζω ότι καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα για το άγνωστο εμβαδόν όταν ισχύει
\frac{DM}{MA}=\frac{BN}{NC}.Επομένως το παραπάνω πρόβλημα είναι ειδική περίπτωση όταν οι δύο αυτοί λόγοι είναι ίσοι με 1


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1080
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Πέμ Φεβ 21, 2013 2:56 pm

Μιχάλη,
Καλώς όρισες έστω και καθυστερημένα, μιάς και τώρα σε πήρα χαμπάρι!
Έχουμε καιρό να τα πούμε στο Ηράκλειο, ευκαιρία λοιπόν να τα λέμε συχνότερα και από δώ.
Έχουμε λοιπόν άλλο ένα Μιχάλη, άλλο ένα εξαιρετικό Μαθηματικό και Γεωμέτρη στην παρέα μας!
Σημαντική η παρατήρησή σου και από ότι θυμάμαι την έχουμε ξανακουβεντιάσει σε παλιότερο θέμα στο :logo: .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης