Βρείτε το εμβαδόν (24)

Ιστοσελίδα · #1

: area24.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 1219 φορές

Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD

τα

είναι τα μέσα των AD,BC

αντίστοιχα. Αν $E \equiv AN \cap BM,\,\,Z \equiv CM \cap DN$ και $(ABE) = 12,\,(EMZN) = 28$ , βρείτε το (ZDC) = x

.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Στο κυρτό τετράπλευρο τα είναι τα μέσα των αντίστοιχα. Αν $E \equiv AN \cap BM,\,\,Z \equiv CM \cap DN$ και $(ABE) = 12,\,(EMZN) = 28$ , βρείτε το .

: 3.png (30.03 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Ας είναι $AA' \bot BC,MM' \bot BC,DD' \bot BC$ με $A',B',C' \in BC$ . Τότε από το τραπέζιο $AA'D'D\left( {AA'\parallel DD'} \right)$ με το μέσο της και

$MM'\parallel AA'\parallel DD'$ προκύπτει ότι η είναι η διάμεσός του και επομένως θα ισχύει: $\boxed{\left( {AA'} \right) + \left( {DD'} \right) = 2\left( {MM'} \right)}:\left( 1 \right)$ .

Τότε: $\left( {ABN} \right) + \left( {CDN} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BN} \right) \cdot \left( {AA'} \right)}}{2} + \displaystyle\frac{{\left( {CN} \right) \cdot \left( {DD'} \right)}}{2}$ $\mathop = \limits^{N\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BC \Rightarrow \left( {BN} \right) = \left( {CN} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{2}} \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {AA'} \right)}}{4} + \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {DD'} \right)}}{4} =$

$\displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{4} \cdot \left[ {\left( {AA'} \right) + \left( {DD'} \right)} \right]\mathop = \limits^{\left( 1 \right)}$ $\displaystyle\frac{{\left( {BC} \right)}}{4} \cdot 2\left( {MM'} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {BC} \right) \cdot \left( {MM'} \right)}}{2} = \left( {MBC} \right)$ $\Rightarrow \left( {ABN} \right) + \left( {CDN} \right) = \left( {MBC} \right) \Rightarrow$

$\left( {ABN} \right) + \left( {BEN} \right) + \left( {CZD} \right) + \left( {CZN} \right) = \left( {BEN} \right) + \left( {CZN} \right) + \left( {MENZ} \right)$ $\Rightarrow \left( {ABN} \right) + \left( {CZD} \right) = \left( {MENZ} \right) \Rightarrow \left( {CZD} \right) = \left( {MENZ} \right) - \left( {ABN} \right)$

$\Rightarrow \left( x \right) = 28 - 12 \Rightarrow \boxed{\left( x \right) = 16}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
Στάθης

KARKAR · #3

: ΕΜΒΑΔΟΝ 16.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Ας τουμπάρουμε το σχήμα και ας φέρουμε τα ύψη AA',MM',DD'

. Θα δείξουμε ότι (AEB)+(DZC)=(MENZ)

και άρα

. Πράγματι : $\displaystyle (AEB)=\frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot AA'-E'$ και $\displaystyle (DZC)=\frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot DD'-E$ ,

οπότε το άθροισμά τους είναι : $\displaystyle \frac{1}{2}\frac{CB}{2}\cdot (AA'+DD')-E'-E$ . Επίσης είναι

$\displaystyle (MENZ)=\frac{1}{2}\cdot CB}\cdot MM'-E'-E$ και επειδή AA'+DD'=2MM'

τελειώσαμε ..

Ιστοσελίδα · #4

Θανάση και Στάθη καλημέρα και σας ευχαριστώ. Δίνω και τη δική μου προσέγγιση, χρησιμοποιώντας το γνωστό κινέζικο απόφθεγμα...

: area24-sol.png (70.47 KiB) Προβλήθηκε 1039 φορές

#5

Καλημέρα

Λύσεις υπέροχες . Του Μιχάλη Μαγεία !!

Φιλικά Νίκος

p_gianno · #6

.
Θα δείξουμε ότι (DZC)+(AEB)=(MZNE)

Φέρω

οπότε

(1) .

Είναι $(DZC)+(AEB)=(MZNE) \leftrightarrow$

$(DZC)+(DZM)+(AEB)+(MEA)=(MZNE) + ( DZM)+(MEA) \leftrightarrow$

$(DCM)+(MBA)=(DNA) \leftrightarrow (DTM)+(ASM)=(DNA) \leftrightarrow$

$(DNM)-(DTN)+(MNA)+(ANS)=(DNA)^* \leftrightarrow$

(DNM)+(MNA)=(DNA)

που ισχύει.

Εύκολα από τα δεδομένα αντικαθιστώντας στην αποδεικτέα παίρνουμε (DZC)=16

(ίσες βάσεις λόγω 1 και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού AM=DM

)

#7

Καλησπέρα σε όλους, και ελπίζω να τα πούμε με τους περισσότερους στην Αθήνα στον Αρχιμήδη.
Μία λίγο διαφορετική αντιμετώπιση με κοινά στοιχεία με την καταπληκτική λύση του Μιχάλη, για να θυμηθούμε και δύο άλλα χρήσιμα λήμματα που έχουμε ξαναθίξει:
1. $\displaystyle{(MDNB)=(MANC)=\frac{(ABCD)}{2}}$
Απόδειξη:
$\displaystyle{(MDNB)=((DNB)+(DMB)=\frac{(DBC)}{2}+\frac{(DBA)}{2}=\frac{(ABCD)}{2}}$
και όμοια για το (MANC)

.
2.

Προκύπτει άμεσα από το προηγούμενο, καθώς (ADN)+(BCM)=(MDNB)+(MANC)=(ABCD)

3.

, καθώς

Οπότε

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Καλησπέρα.Ενα μικρό σχόλιο
Έχει ενδιαφέρον νομίζω ότι καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα για το άγνωστο εμβαδόν όταν ισχύει
$\frac{DM}{MA}$ = $\frac{BN}{NC}$ .Επομένως το παραπάνω πρόβλημα είναι ειδική περίπτωση όταν οι δύο αυτοί λόγοι είναι ίσοι με 1

#9

Μιχάλη,
Καλώς όρισες έστω και καθυστερημένα, μιάς και τώρα σε πήρα χαμπάρι!
Έχουμε καιρό να τα πούμε στο Ηράκλειο, ευκαιρία λοιπόν να τα λέμε συχνότερα και από δώ.
Έχουμε λοιπόν άλλο ένα Μιχάλη, άλλο ένα εξαιρετικό Μαθηματικό και Γεωμέτρη στην παρέα μας!
Σημαντική η παρατήρησή σου και από ότι θυμάμαι την έχουμε ξανακουβεντιάσει σε παλιότερο θέμα στο

.

Βρείτε το εμβαδόν (24)

Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (24)

Μέλη σε σύνδεση