Λόγος Εμβαδών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Λόγος Εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τρί Μαρ 19, 2013 9:02 am

Σε τρίγωνο \displaystyle{ 
AB\Gamma  
} θεωρούμε σημεία \displaystyle{ 
\Delta ,E 
} των \displaystyle{ 
AB,\,A\Gamma  
} αντίστοιχα. Αν οι \displaystyle{ 
BE,\Gamma \Delta  
} τέμνονται στο \displaystyle{ 
K 
} και \displaystyle{ 
(BK\Delta ) = 1,\,(BK\Gamma ) = 2,\,(\Gamma KE) = 3 
}, να βρεθεί το \displaystyle{ 
\left( {AB\Gamma } \right) 
}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος Εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 19, 2013 5:01 pm

Γεια χαρά.

Έστω \displaystyle{(ADK) = x,(AKE) = y}
\displaystyle{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{(AKE)}}{{(EKC)}} = \frac{y}{3}(1)}
\displaystyle{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{(ABK)}}{{(KBC)}} = \frac{{x + 1}}{2}(2)}
Από (1),(2) έχουμε \displaystyle{\frac{y}{3} = \frac{{x + 1}}{2} \Leftrightarrow \boxed{2y = 3x + 3}{\text{  (3)}}}
\displaystyle{\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{(AKD)}}{{(DKB)}}{\text{ = }}\frac{x}{1}{\text{  }}(4){\text{   }}{\text{,}}\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{(AKC)}}{{(BKC)}} = \frac{{y + 3}}{2}{\text{  (5)}}}
Από (4),(5) έχουμε \displaystyle{\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{2} \Leftrightarrow \boxed{2x = y + 3}{\text{  (6)}}}
Λύνοντας το σύστημα των (3),(6)
\displaystyle{x = 9,y = 15 \Rightarrow \boxed{(ABC) = 30}}
Συνημμένα
εύρεση εμβαδού.png
εύρεση εμβαδού.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Λόγος Εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 19, 2013 5:51 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Σε τρίγωνο \displaystyle{ 
AB\Gamma  
} θεωρούμε σημεία \displaystyle{ 
\Delta ,E 
} των \displaystyle{ 
AB,\,A\Gamma  
} αντίστοιχα. Αν οι \displaystyle{ 
BE,\Gamma \Delta  
} τέμνονται στο \displaystyle{ 
K 
} και \displaystyle{ 
(BK\Delta ) = 1,\,(BK\Gamma ) = 2,\,(\Gamma KE) = 3 
}, να βρεθεί το \displaystyle{ 
\left( {AB\Gamma } \right) 
}.

Μετά την όμορφη λύση του Μιχάλη ας δούμε το θέμα και λίγο διαφορετικά...
2.png
2.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Έστω AA',DD',EE' κάθετες στην BC, με A',B',C' \in BC. Από Θεώρημα Μενελάου στο \vartriangle ABE με διατέμνουσα την DKC ισχύει: \boxed{\frac{{\left( {DA} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} \cdot \displaystyle\frac{{\left( {KB} \right)}}{{\left( {KE} \right)}} \cdot \frac{{\left( {CE} \right)}}{{\left( {CA} \right)}} = 1}:\left( 1 \right)

Είναι \displaystyle\frac{{\left( {DA} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} = \frac{{\left( {BA} \right) - \left( {DB} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} = \displaystyle\frac{{\left( {BA} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} - 1 \mathop  = \limits^{DD'\parallel AA' \Rightarrow \frac{{\left( {BA} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} = \frac{{\left( {DD'} \right)}}{{\left( {AA'} \right)}} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {BDC} \right)}} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{3}} \displaystyle\frac{{\left( {ABC} \right) - 3}}{3} , \displaystyle\frac{{\left( {KB} \right)}}{{\left( {KE} \right)}} = \displaystyle\frac{{\left( {KBC} \right)}}{{\left( {KCE} \right)}} =  & \frac{2}{3} και

\displaystyle\frac{{\left( {CE} \right)}}{{\left( {CA} \right)}}\mathop  = \limits^{EE'\parallel AA'} \frac{{\left( {EE'} \right)}}{{\left( {AA'} \right)}} = \displaystyle\frac{{\left( {EBC} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} =  & \frac{5}{{\left( {ABC} \right)}}, άρα από \left( 1 \right) \Rightarrow \displaystyle\frac{{\left( {ABC} \right) - 3}}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{{\left( {ABC} \right)}} = 1 \Leftrightarrow 10\left( {ABC} \right) - 30 = 9\left( {ABC} \right) \Rightarrow \boxed{\left( {ABC} \right) = 30}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Λόγος Εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μαρ 19, 2013 7:53 pm

Παρεμφερής λύση με το συνονόματο.
Λόγος-Εμβαδών.png
Λόγος-Εμβαδών.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
\displaystyle\frac{{({\rm K}{\rm E}\Delta )}}{3} = \displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow ({\rm K}{\rm E}\Delta ) = 1,5

\displaystyle\frac{{(\Delta {\rm A}{\rm E})}}{{(\Delta {\rm E}\Gamma )}} = \displaystyle\frac{{({\rm B}{\rm A}{\rm E})}}{{({\rm B}{\rm E}\Gamma )}} \Leftrightarrow \frac{{(\Delta {\rm A}{\rm E})}}{{4,5}} = \displaystyle\frac{{(\Delta {\rm A}{\rm E}) + 2,5}}{5} \Leftrightarrow (\Delta {\rm A}{\rm E}) = 22,5

και ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = 30\,\tau .\mu .


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10940
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Λόγος Εμβαδών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 19, 2013 9:19 pm

Είναι ένα από τα πιο συζητημένα θέματα . Αρχίστε , ας πούμε , από εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες