Ειδικά ορθογώνια

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10952
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ειδικά ορθογώνια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 20, 2013 11:30 pm

Ειδικά  ορθογώνια.png
Ειδικά ορθογώνια.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Πάνω στην υποτείνουσα BC ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο S , και στη συνέχεια

σημεία P,T επί των AB,AC , ώστε BP=BS και CT=CS . Αν το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι

90^0-60^0-30^0 , πως θα επιλέξουμε το S ,δηλαδή πόσο μήκος θα έχει το CS , ώστε το SPT ,

να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ?


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4435
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ειδικά ορθογώνια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 21, 2013 2:59 pm

21-3-2013 Γεωμετρία.jpg
21-3-2013 Γεωμετρία.jpg (13.48 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
Έστω τρίγωνο ABC με \displaystyle{\widehat A = 90^\circ ,\;\widehat B = 60^\circ ,\;\widehat C = 30^\circ } και AC = b, AB = c

Τότε \displaystyle{\varepsilon \varphi 60^\circ  = \frac{b}{c} \Leftrightarrow b = \sqrt 3 c}

Έστω σημεία S, P, T στις BC, AB, AC αντίστοιχα, ώστε BP = BS, CT = CS.

Τότε BPS ισόπλευρο και στο ισοσκελές STC είναι \displaystyle{\widehat C = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {TSC} = \widehat {STC} = 75^\circ  \Rightarrow \widehat {PST} = 45^\circ }

Αν είναι και \displaystyle{\widehat {PTS} = 45^\circ }, δηλαδή SPT ορθογώνιο και ισοσκελές, στο ορθογώνιο PAT θα είναι \displaystyle{\widehat {APT} = 30^\circ  \Rightarrow AT = \frac{{PT}}{2}}

Έστω SC = x, οπότε AT = b – x οπότε PT = 2(b-x) και \displaystyle{PA = \sqrt 3  \cdot AT = \sqrt 3 \left( {b - x} \right)}

Είναι \displaystyle{PB = BS = PS = c - \sqrt 3 \left( {b - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}b - \sqrt 3 \left( {x - b} \right)}.

Οπότε \displaystyle{PT = PS \Leftrightarrow 2\left( {b - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}b - \sqrt 3 \left( {b - x} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}b}

Με κέντρο C και ακτίνα ίση με το x κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει τις BC, AC στα S, T αντίστοιχα.

edit: Έκανα μια διόρθωση στο τελικό αποτέλεσμα, μετά από διακριτική υπόδειξη του Karkar, τον οποίο και ευχαριστώ!
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Πέμ Μαρ 21, 2013 10:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1694
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ειδικά ορθογώνια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 21, 2013 5:39 pm

Καλησπέρα.Μια σκέψη ακόμη

Η γωνία \displaystyle{PST} για οποιαδήποτε θέση του \displaystyle{S} στην \displaystyle{BC} προφανώς έχει σταθερό μέτρο 45 μοιρών.Έτσι ,το ζητούμενο θα έχει απαντηθεί όταν προσδιοριστεί η θέση του \displaystyle{P} (άρα και του \displaystyle{S} ) στην \displaystyle{AB} ώστε \displaystyle{PS=PT} .Όταν όμως συμβαίνει αυτό,(επειδή ισχύει και \displaystyle{CS=CT} ) η \displaystyle{PC} θα είναι μεσοκάθετος της \displaystyle{ST} άρα διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{C} .Τότε όμως όπως γνωρίζουμε ισχύει \displaystyle{BP = \frac{{ab}}{{a + b}}} Άρα και (αφού το τρίγωνο \displaystyle{PBS} είναι ισόπλευρο) \displaystyle{{BS = \frac{{ab}}{{a + b}}}}
και η θέση του \displaystyle{S} στην \displaystyle{BC} προσδιορίστηκε.
Συνημμένα
ειδικά ορθογώνια.png
ειδικά ορθογώνια.png (3.74 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ειδικά ορθογώνια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Πέμ Μαρ 21, 2013 6:22 pm

.

Έστω I το έγκεντρο του τργ ABC . Από το P (ίχνος της διχοτόμου) φέρω PS \perp BI με S \in BC.

Αν T το συμμετρικό του S ως προς CP (δηλ PS=PT ,   T \in AC επειδή ο άξονας συμμετρίας είναι η διχοτόμος)

τότε TPS είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Πράγματι από την κατασκευή του S έχουμε BP=BS =PS (\triangle BPS ισόπλευρο)

Από το τργ BPC προκύπτει 60^0+x=BPC=180^0-60^0-15^0=105^0 συνεπώς x=45^0

άρα και TPI=x=45^0 . Είναι τώρα πια SPT=90^0. Ικανοποιούνται δηλαδή όλες οι απαιτήσεις της κατασκευής.
Συνημμένα
κατασκευή.png
κατασκευή.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10952
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ειδικά ορθογώνια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 21, 2013 10:52 pm

Ειδικά  ορθογώνια.png
Ειδικά ορθογώνια.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Να συμπληρώσω , ότι υπάρχει και δεύτερη λύση , με την κορυφή της ορθής , να είναι τώρα στην AC .

Είναι φανερό ότι το Q είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Ο υπολογισμός , είτε με θεώρημα διχοτόμου

είτε κατά Γ. Ρίζο , δίνει : \displaystyle CS=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}b . To CS' , βρίσκεται ευκολότερα : \displaystyle CS'=\frac{2\sqrt{3}}{3}c


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης