Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6780
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 23, 2013 1:42 pm

Ημικύκλιο και βαρύκεντρο.png
Ημικύκλιο και βαρύκεντρο.png (20.3 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου BC = 10 και σημείο A του ημικυκλίου για το οποίο AB = 8 . Ας πούμε M το μέσο του τόξου AC
Αν οι BA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CM τέμνονται στο σημείο P και G το βαρύκεντρο του PBC , να δειχθεί ότι το τρίγωνο GPC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Νίκος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10936
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 23, 2013 3:18 pm

Βαρύκεντρο.png
Βαρύκεντρο.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
Στο PBC η BM διχοτόμος και ύψος , άρα PB=10 . Από τεμνόμενες χορδές , παίρνω PC=2\sqrt{10} .

Από θεώρημα διαμέσου στο PBC , βρίσκω : PO=3\sqrt{5} και με θεώρημα Μενελάου στο PCO , με διατέμνουσα MGB

βρίσκω τελικά ότι PG=2\sqrt{5} . Φυσικά είναι CG=PG και από αντίστροφο Πυθαγόρειου , είναι PGC ορθογώνιο .

Ίσως χρησιμοποίησα παραπανίσια όπλα ...


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Σάβ Μαρ 23, 2013 3:23 pm

Από ΠΘ στο τργ BAC έχουμε AC=6. Θέτοντας AM=MC=x και BM=y έχουμε από Θ.Πτολεμαίου 6y=8x+10x \rightarrow y=3x (1)

Στο τργ BCP η BM είναι ύψος και διχοτόμος άρα και διάμεσος στο κατ’ανάγκη ισοσκελές τργ BCP συνεπώς G \in BM.

G κέντρο βάρους του PBC άρα GM=BM:3=x=MP=MC με συνέπεια γων PGC=90^0 και GP=GC αφού GM μεσοκάθετος της CP
Συνημμένα
βαρύκεντρο ημικύκλιο.png
βαρύκεντρο ημικύκλιο.png (22.39 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 25, 2013 4:20 am

Είναι προφανές ότι το τρίγωνο \displaystyle{CBP} είναι ισοσκελές και \displaystyle{BP = BC=10,AP = 2}.
Ισχύει \displaystyle{PA \cdot PB = PM \cdot PC \Leftrightarrow 10 \cdot 2 = 2P{M^2} \Rightarrow P{M^2} = 10}και θ. διαμέσων στο τρίγωνο \displaystyle{CBP} βρίσκουμε \displaystyle{BM = \sqrt {90} }
Έστωσαν \displaystyle{N,Z,E} μέσα αντίστοιχα των \displaystyle{GC,GP,BP}
Τότε \displaystyle{EG = GN = \frac{1}{3}EC,ZG = GO = \frac{1}{3}PO \Rightarrow EZNO} παραλληλόγραμμο και μάλιστα ορθογώνιο ,γιατί \displaystyle{ZN//PC,EZ//BM,PC \bot BM}
Αλλά, \displaystyle{EZ = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3}\sqrt {90}  = \sqrt {10} ,ZN = PM = \sqrt {10}  \Rightarrow EZNO} τετράγωνο κι έτσι \displaystyle{ZG \bot GN}
Φυσικά το τρίγωνο \displaystyle{PGC} είναι και ισοσκελές αφού \displaystyle{G} είναι επί της μεσοκάθετης της \displaystyle{CP}
Συνημμένα
ORTH-ISOSC.png
ORTH-ISOSC.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Δευ Μαρ 25, 2013 2:00 pm

draw1.png
draw1.png (36.73 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
..καλό μεσημέρι..
και μία παραπλήσια

επειδή \bigtriangleup ABC:\hat{A}=90^{\circ}  \mathop\Rightarrow\limits^{\pi  \theta }\,\,\,\, AC=6.

Επίσης : \bigtriangleup ACP: \hat{A}=90^{\circ} \,\,\,\,AM=MC\Rightarrow \hat{MAC}=\hat{MCA}=\chi \Rightarrow \hat{APC}=\displaystyle{\hat{MAP}=90^{\circ} -\chi \Rightarrow AM=AP=MC. 
 
Κατά συνέπεια στο \bigtriangleup BPC: BM    διάμεσος  (και άρα G\in BM) ενώ ταυτόχρονα BM\perp PC(\hat{BMC}=90^{\circ} (βαίνει σε ημικύκλιο).Οπότε: BP=BC\Rightarrow AP=2 
 
Έτσι από Πυθαγόρειο Θ. στο \displaystyle \bigtriangleup APC\Rightarrow PC=2\sqrt{10}\Rightarrow PM=MC=\sqrt{10}. Όμοια \bigtriangleup BMP:\hat{M}=90^{\circ} \mathop\Rightarrow\limits^{\pi \theta } BM= \sqrt{90} 
 
και αφού G βαρύκεντρο στο\bigtriangleup PBC}\displaystyle \Rightarrow GM=\frac{1}{3}\cdot BM\Rightarrow GM=\frac{\sqrt{90}}{3}\Rightarrow GM=\sqrt{10} οπότε GM=MC=MP (1)

Έτσι επειδή G\in BM που είναι μεσοκάθετος του PC έχουμε: GP=GC (2)

Άρα από (1), (2) συνάγεται : \bigtriangleup GPC ορθογώνιο στο G και ισοσκελές.-


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης