Παράκεντρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Παράκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Μαρ 24, 2013 9:28 pm

Έστω ABC οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O. Η μεσοκάθετος του τμήματος AH τέμνει τις AB,AC στα σημεία D και E αντιστοίχως. Να αποδειχθεί ότι το A είναι το παράκεντρο του τριγώνου ODE.
excentre.png
excentre.png (10.58 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Παράκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Μαρ 25, 2013 9:46 am

Παύλο Καλημέρα.
Μία περιληπτική διαπραγμάτευση στηριγμένη στην πρόταση:
"Η απόσταση του περικέντρου τριγώνου από μία πλευρά του ισούται με το μισό της απόστασης της αντίστοιχης προς την πλευρά αυτή κορυφής από το ορθόκεντρο του" \displaystyle{\left( {OS = \frac{1}{2}AH} \right)}.

OS = AZ,\;\;SC = ZF \Rightarrow AF = OC = AO = CF,
δηλαδή το τετράπλευρο AOCF είναι ρόμβος.
Τελικά \angle OEC = \angle FEC = \angle AED\;...
Συνημμένα
paracentro.ggb.png
paracentro.ggb.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 25, 2013 1:43 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Έστω ABC οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O. Η μεσοκάθετος του τμήματος AH τέμνει τις AB,AC στα σημεία D και E αντιστοίχως. Να αποδειχθεί ότι το A είναι το παράκεντρο του τριγώνου ODE.
Παύλο και Σωτήρη καλημέρα και Χρόνια Πολλά. Βέβαια μετά κάθε παρέμβαση του Σωτήρη ότι και να πεις …. αλλά ας δούμε και το θέμα λίγο διαφορετικότερα.
2.png
2.png (48.79 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Ας είναι M,N τα μέσα των AB,AC αντίστοιχα και έστω P \equiv OM \cap AH,Q \equiv ON \cap AH. Από OM \bot AB,PK \bot DH (με K \equiv DE \cap AH)

το τετράπλευρο MDKP είναι εγγράψιμο σε κύκλο οπότε \boxed{\angle MDP = \angle MKP}:\left( 1 \right). Από το τρίγωνο \vartriangle AHB με M,K τα μέσα

των πλευρών του AB,AH αντίστοιχα θα είναι MK\parallel BH\mathop  \Rightarrow \limits^{BH \bot AC} MK \bot AC\mathop  \Rightarrow \limits^{KP \bot BC} \angle MKP =\displaystyle\frac{{\angle AOB}}{2} = \angle AOM \equiv \angle AOP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

\angle MDP = \angle AOP \Rightarrow ADPO εγγράψιμο σε κύκλο οπότε: \angle AOD = \angle APD \equiv \angle KPD\mathop  = \limits^{MDKP\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o}

\angle KMA\mathop  = \limits^{MK\parallel BH} \angle HBA\mathop  = \limits^{BH \bot AC} {90^0} - \angle A \Rightarrow \boxed{\angle AOD = {{90}^0} - \angle A}:\left( 3 \right). Με όμοιο τρόπο (από τη δεξιά μεριά) προκύπτει ότι \boxed{\angle AOE = {{90}^0} - \angle A}:\left( 4 \right).

Από \left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \boxed{\angle AOD = \angle AOE = {{90}^0} - \angle A} οπότε το A είναι το παράκεντρο του τριγώνου \vartriangle ODE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1696
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παράκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 26, 2013 5:12 am

Και μια άλλη αντιμετώπιση

Φέρνουμε \displaystyle{AM \bot OD,AF \bot OE} .Έστω \displaystyle{(h)} ο περίκυκλος του τριγώνου \displaystyle{ABC} και \displaystyle{AM \cap (h) = N,AF \cap (h) = Z}.Τότε \displaystyle{OF,OM} είναι μεσοκάθετοι των χορδών \displaystyle{AZ,AN} αντίστοιχα.Επειδή όμως και \displaystyle{ED} μεσοκάθετη της \displaystyle{AH} ,τα \displaystyle{E,D} είναι τα κέντρα των περίκυκλων των τριγώνων \displaystyle{HAZ,HAN}..Άρα θα έχουμε
\displaystyle{EH=EA=EZ ,DA=DH=DN} .Έτσι ,αν στο τρίγωνο \displaystyle{AHZ} είναι \displaystyle{\angle EAH = \angle AHE = x,\angle EAZ = \angle AZE = y,\angle EZH = \angle ZHE = \omega },έχουμε ότι
\displaystyle{\angle 2x + \angle 2y + \angle 2\omega  = {180^0} \Rightarrow \angle x + \angle y + \angle \omega  = {90^0} \Rightarrow AC \bot HZ} άρα \displaystyle{AC} μεσοκάθετος της \displaystyle{HZ}κι έτσι \displaystyle{AH = AZ \Rightarrow AK = AF}, όπως (για τους ίδιους ακριβώς λόγους ) και \displaystyle{AK=AM}.Έτσι ,οι αποστάσεις του \displaystyle{A} από τις πλευρές του τριγώνου \displaystyle{OED} είναι ίσες και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Συνημμένα
παράκεντρο.png
παράκεντρο.png (37.46 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1696
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παράκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 26, 2013 4:55 pm

Διορθώνω την προηγούμενη λύση μου, που σήμερα(έχοντας πιο καθαρό μυαλό) διαπίστωσα ότι προφανώς είναι ελλιπής

θεωρώ τα ύψη \displaystyle{BQ,CT} του τριγώνου \displaystyle{ABC} που τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα \displaystyle{Z,N} αντίστοιχα.Τότε όπως είναι γνωστό τα \displaystyle{Z,N} είναι τα συμμετρικά του ορθόκεντρου \displaystyle{H} ως προς τις πλευρές \displaystyle{AC,AB} (πολύ απλή η απόδειξη) κι έτσι \displaystyle{AC,AB} είναι μεσοκάθετοι των \displaystyle{HZ,HN} (άρα και διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle{HAZ,HAN}) αντίστοιχα κι επειδή \displaystyle{ED} μεσοκάθετος της \displaystyle{AH} ,τα \displaystyle{E,D} είναι κέντρα των περίκυκλων των τριγώνων \displaystyle{AHZ,AHN} οπότε \displaystyle{OEF \bot AZ,ODM \bot AN} (αφού\displaystyle{AZ,AN} κοινές χορδές του περίκυκλου του τριγώνου \displaystyle{ABC} με τους περίκυκλους των τριγώνων \displaystyle{AZH,AHN} αντίστοιχα).Έτσι \displaystyle{AK = AF = AM} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
Συνημμένα
παράκεντρο.png
παράκεντρο.png (35.42 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες