Νέα επαφή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10936
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νέα επαφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 24, 2013 11:50 pm

Νέα  επαφή.png
Νέα επαφή.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Η μεσοκάθετος

της AB , τέμνει την προέκταση της BC στο T . Η AT τέμνει τον κύκλο στο S .

1) Δείξτε ότι : TS=TC ... 2) Δείξτε ότι ο κύκλος (S,C,T) , εφάπτεται της AC .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6780
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Νέα επαφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 25, 2013 1:14 am

Νέα επαφή_1.png
Νέα επαφή_1.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Επειδή η TM μεσοκάθετος στο AB , θα είναι TA = TB .
1) Από τη δύναμη του σημείου T ως προς τον κύκλο (O,OA) θα έχουμε TA \cdot TS = TB \cdot TC \Rightarrow TS = TC .
2) Τα ισοσκελή τρίγωνα ABC,TAB έχουν κοινή την γωνία \widehat B , άρα είναι όμοια και συνεπώς και ισογώνια . Ας πούμε K το περίκεντρο του τριγώνου TSC τότε η γωνία \widehat \theta  = \widehat {CTS} = \widehat A και έτσι το τετράπλευρο AMCK είναι εγγράψιμο . Άμεση συνέπεια : τα M,K βλέπουν την πλευρά AK υπό ίσες γωνίες άρα και \widehat {ACK} = {90^0} . Αφού τώρα η AC κάθετη στο άκρο της ακτίνας KC του κύκλου (K,KT) θα είναι και εφαπτομένη σ αυτόν τον κύκλο .

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Νέα επαφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 25, 2013 1:48 am

KARKAR έγραψε:Ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Η μεσοκάθετος της AB , τέμνει την προέκταση της BC στο T . Η AT τέμνει τον κύκλο στο S .
1) Δείξτε ότι : TS=TC ... 2) Δείξτε ότι ο κύκλος (S,C,T) , εφάπτεται της AC .
Μόνο για την καλημέρα στους φίλους!!!
1.png
1.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
1) Είναι \vartriangle TAB ισοσκελές (από τη μεσοκάθετη) οπότε το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCS είναι ισοσκελές τραπέζιο \left( {\angle CBA = \angle SAB} \right) άρα AS = BC\mathop  \Rightarrow \limits^{TA = TB} \boxed{TS = TC}

2) Από το εγγεγραμμένο ABCS \Rightarrow \angle CST = \angle CBA\mathop  = \limits^{\vartriangle ABC\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma } \angle ACB = \angle XCT \Rightarrow AC εφαπτόμενη του περικυκλίου του \vartriangle TSC.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Νέα επαφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 25, 2013 5:30 am

Είναι μια εύκολη άσκηση «σχολική» . Δίνω και μια άλλη αντιμετώπιση
Επειδή προφανώς \displaystyle{MT} διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\angle ATB} ,αν \displaystyle{ON \bot AT,OK \bot BT} τότε \displaystyle{OK = ON \Rightarrow AS = BC \Rightarrow AT - AS = BT - BC \Rightarrow TS = TC}
Τα κέντρα των δυο κύκλων θα ανήκουν προφανώς στην \displaystyle{MT} οπότε \displaystyle{\angle LCT = \angle LTC = y}.Αν \displaystyle{\angle ABC = x} από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{BMT} θα έχουμε \displaystyle{x + y = {90^0}} \displaystyle{ \Rightarrow \angle ACL = {90^0}} άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε
Συνημμένα
νεα επαφή.png
νεα επαφή.png (23.48 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης