Ελάχιστη τριγωνομετρία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη τριγωνομετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 25, 2013 9:39 am

Ελάχιστη  τριγωνομετρία.png
Ελάχιστη τριγωνομετρία.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Στο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , (AB=AC) , βρίσκεται

σημείο S , έτσι ώστε : (SA)=1 , (SB)=\sqrt{5} , (SD)=3 . Υπολογίστε την \varepsilon \phi \theta .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4646
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μαρ 25, 2013 12:32 pm

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους!

Με ελάχιστη (καθόλου θα έλεγα...) Τριγωνομετρία, αλλά με Αναλυτική Γεωμετρία και αρκετή Άλγεβρα.
25-03-2013 Γεωμετρία.jpg
25-03-2013 Γεωμετρία.jpg (15.18 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κορυφή A(0, 0) παίρνουμε σημεία B(a, 0), C(0, a), a > 0 που είναι κορυφές ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου.

Στην ευθεία \displaystyle{y = \varepsilon \varphi \theta  \cdot x,\;\;0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} παίρνουμε σημείο \displaystyle{S\left( {t,\;\varepsilon \varphi \theta  \cdot t} \right)}, ώστε

\displaystyle{\left( {SA} \right) = 1 \Leftrightarrow {t^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta  \cdot {t^2} = 1\;\;\;\left( 1 \right)}

\displaystyle{\left( {SB} \right) = \sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {a - t} \right)^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta  \cdot {t^2} = 5\;\;\;\left( 2 \right)}

\displaystyle{\left( {SC} \right) = 3 \Leftrightarrow {t^2} + \left( {a - \varepsilon {\varphi ^2}\theta  \cdot {t^2}} \right) = 9\;\;\;\left( 3 \right)}

και επιπλέον το S να είναι στο εσωτερικό του τριγώνου.

\displaystyle{\left( 2 \right):\;\;{a^2} + {t^2} - 2at + \varepsilon {\varphi ^2}\theta  \cdot {t^2} = 5\;\;\; \Leftrightarrow \;{a^2} - 2at = 4\;\;\;\left( 4 \right)}, λόγω της (1)

\displaystyle{\left( 3 \right):\;\;{a^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta  \cdot {t^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta  \cdot t + {t^2} = 9\;\;\; \Leftrightarrow \;{a^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta  \cdot t = 8\;\;\;\left( 5 \right)}, λόγω της (1)

Από (4) \displaystyle{{a^2} - 2at = 4\;\; \Leftrightarrow \;\;t = \frac{{{a^2} - 4}}{{2a}}} και από (5) \displaystyle{{a^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta  \cdot t = 8\;\; \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta  \cdot t = \frac{{{a^2} - 8}}{{2a}}}

οπότε η (1) γίνεται: \displaystyle{\frac{{{{\left( {{a^2} - 4} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{{{{\left( {{a^2} - 8} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^4} - 14{a^2} + 40 = 0}, που έχει λύσεις

\displaystyle{{a^2} = 10} οπότε \displaystyle{t = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\;\; \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta  = \frac{1}{3}}

ή \displaystyle{{a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2}, που απορρίπτεται αφού το S θέλουμε να είναι στο εσωτερικό του τριγώνου.

Κι ένα αρχείο Geogebra όπου επαληθεύονται τα "πραγματικά" δεδομένα.
Συνημμένα
25-5-2013 Σημείο S.ggb
(7.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Μαρ 25, 2013 1:18 pm

Θανάση
Θεωρούμε εξωτερικά του δεδομένου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και προς την μεριά της κορυφής C τμήμα AF=AS με AF κάθετο στο AS. Τότε
SF = \sqrt 2  \Rightarrow \angle CSF = 45^ \circ  \;\left(  *  \right) \Rightarrow \angle CSA = 90^ \circ   \Rightarrow \tan \vartheta  = \frac{1} 
{3}.

(*) Νόμος συνημιτόνου στο τρίγωνο CFS και ισότητα των τριγώνων CFA, SAB.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 25, 2013 1:36 pm

Σωτήρη , ας μου επιτραπεί η έκφραση : " Μαγκιά ! "


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 25, 2013 2:25 pm

Γεια σας και χρόνια πολλά

Στρέφω το σχήμα κατά γωνία \displaystyle{{90^0}} δεξιόστροφα .Τότε \displaystyle{B'S' \bot CS,S'A \bot SA,S'A = SA = 1,CS' = SB = \sqrt 5 }
Με πυθαγόρειο στο τρίγωνο \displaystyle{S'AS \Rightarrow S'{S^2} = 2}
Επειδή \displaystyle{C{S^2} = 9,S'{S^2} = 2,C{{S'}^2} = 3 \Rightarrow C{{S'}^2} < C{S^2} + S'{S^2} \Rightarrow \angle CSS' < {90^0}}.Λόγω της στροφής ,είναι \displaystyle{B'S' \bot CS}
Με γενικευμένο πυθαγόρειο στο τρίγωνο \displaystyle{CS'S \Rightarrow C{{S'}^2} = S'{S^2} + C{S^2} - 2CS \cdot SD \Rightarrow 5 = 9 + 2 - 6SD \Rightarrow SD = 1}.Έτσι το \displaystyle{S'DSA} είναι τετράγωνο \displaystyle{ \Rightarrow AS'//AS \Rightarrow S'B'A = \angle \theta }
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{B'S'A} έχουμε λοιπόν \displaystyle{\varepsilon \varphi \theta  = \frac{{S'A}}{{S'B'}} \Rightarrow \boxed{\varepsilon \varphi \theta  = \frac{1}{3}}}
Συνημμένα
1.png
1.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης