Ελάχιστη τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Ελάχιστη τριγωνομετρία.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , βρίσκεται

σημείο

, έτσι ώστε : $(SA)=1 , (SB)=\sqrt{5} , (SD)=3$ . Υπολογίστε την $\varepsilon \phi \theta$ .

#2

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους!

Με ελάχιστη (καθόλου θα έλεγα...) Τριγωνομετρία, αλλά με Αναλυτική Γεωμετρία και αρκετή Άλγεβρα.

: 25-03-2013 Γεωμετρία.jpg (15.18 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κορυφή A(0, 0)

παίρνουμε σημεία B(a, 0), C(0, a), a > 0

που είναι κορυφές ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου.

Στην ευθεία $\displaystyle{y = \varepsilon \varphi \theta \cdot x,\;\;0 < \theta < \frac{\pi }{2}}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{S\left( {t,\;\varepsilon \varphi \theta \cdot t} \right)}$ , ώστε

$\displaystyle{\left( {SA} \right) = 1 \Leftrightarrow {t^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta \cdot {t^2} = 1\;\;\;\left( 1 \right)}$

$\displaystyle{\left( {SB} \right) = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a - t} \right)^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta \cdot {t^2} = 5\;\;\;\left( 2 \right)}$

$\displaystyle{\left( {SC} \right) = 3 \Leftrightarrow {t^2} + \left( {a - \varepsilon {\varphi ^2}\theta \cdot {t^2}} \right) = 9\;\;\;\left( 3 \right)}$

και επιπλέον το

να είναι στο εσωτερικό του τριγώνου.

$\displaystyle{\left( 2 \right):\;\;{a^2} + {t^2} - 2at + \varepsilon {\varphi ^2}\theta \cdot {t^2} = 5\;\;\; \Leftrightarrow \;{a^2} - 2at = 4\;\;\;\left( 4 \right)}$ , λόγω της (1)

$\displaystyle{\left( 3 \right):\;\;{a^2} + \varepsilon {\varphi ^2}\theta \cdot {t^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta \cdot t + {t^2} = 9\;\;\; \Leftrightarrow \;{a^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta \cdot t = 8\;\;\;\left( 5 \right)}$ , λόγω της (1)

Από

$\displaystyle{{a^2} - 2at = 4\;\; \Leftrightarrow \;\;t = \frac{{{a^2} - 4}}{{2a}}}$ και από (5)

$\displaystyle{{a^2} - 2a \cdot \varepsilon \varphi \theta \cdot t = 8\;\; \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta \cdot t = \frac{{{a^2} - 8}}{{2a}}}$

οπότε η (1)

γίνεται: $\displaystyle{\frac{{{{\left( {{a^2} - 4} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{{{{\left( {{a^2} - 8} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^4} - 14{a^2} + 40 = 0}$ , που έχει λύσεις

$\displaystyle{{a^2} = 10}$ οπότε $\displaystyle{t = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\;\; \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \frac{1}{3}}$

ή $\displaystyle{{a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2}$ , που απορρίπτεται αφού το

θέλουμε να είναι στο εσωτερικό του τριγώνου.

Κι ένα αρχείο Geogebra όπου επαληθεύονται τα "πραγματικά" δεδομένα.

S.E.Louridas · #3

Θανάση
Θεωρούμε εξωτερικά του δεδομένου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και προς την μεριά της κορυφής

τμήμα

με

κάθετο στο

. Τότε
$SF = \sqrt 2 \Rightarrow \angle CSF = 45^ \circ \;\left( * \right) \Rightarrow \angle CSA = 90^ \circ \Rightarrow \tan \vartheta = \frac{1} {3}.$

(*) Νόμος συνημιτόνου στο τρίγωνο CFS

και ισότητα των τριγώνων CFA, SAB

.

KARKAR · #4

Σωτήρη , ας μου επιτραπεί η έκφραση : " Μαγκιά ! "

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Γεια σας και χρόνια πολλά

Στρέφω το σχήμα κατά γωνία $\displaystyle{{90^0}}$ δεξιόστροφα .Τότε $\displaystyle{B'S' \bot CS,S'A \bot SA,S'A = SA = 1,CS' = SB = \sqrt 5 }$
Με πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{S'AS \Rightarrow S'{S^2} = 2}$
Επειδή $\displaystyle{C{S^2} = 9,S'{S^2} = 2,C{{S'}^2} = 3 \Rightarrow C{{S'}^2} < C{S^2} + S'{S^2} \Rightarrow \angle CSS' < {90^0}}$ .Λόγω της στροφής ,είναι $\displaystyle{B'S' \bot CS}$
Με γενικευμένο πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{CS'S \Rightarrow C{{S'}^2} = S'{S^2} + C{S^2} - 2CS \cdot SD \Rightarrow 5 = 9 + 2 - 6SD \Rightarrow SD = 1}$ .Έτσι το $\displaystyle{S'DSA}$ είναι τετράγωνο $\displaystyle{ \Rightarrow AS'//AS \Rightarrow S'B'A = \angle \theta }$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{B'S'A}$ έχουμε λοιπόν $\displaystyle{\varepsilon \varphi \theta = \frac{{S'A}}{{S'B'}} \Rightarrow \boxed{\varepsilon \varphi \theta = \frac{1}{3}}}$

Ελάχιστη τριγωνομετρία

Ελάχιστη τριγωνομετρία

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση