Τετράγωνη λογική 2

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετράγωνη λογική 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 25, 2013 9:42 pm

Τετράγωνη  λογική.png
Τετράγωνη λογική.png (8 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Στις πλευρές AB και AD τετραγώνου ABCD , πλευράς a , παίρνω τμήματα AP=AT=x .

1) Αν E_{1}=E_{3} , βρείτε τον λόγο : \displaystyle \frac{E_{2}}{E_{4}}

2) Βρείτε τα τέσσερα εμβαδά συναρτήσει των a,x .

Κανονικά το δεύτερο ερώτημα θα ήταν πρώτο . Αν το σας φαίνεται "άχαρο" , απαντήστε μόνο στο πρώτο


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνη λογική 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μαρ 25, 2013 11:10 pm

τετράγωνη λογική 2.png
τετράγωνη λογική 2.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Αν {E_1} = {E_3} \Leftrightarrow {E_1} + (STC) = {E_3} + (STC)\,\,\,(1) .
Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων CDT,CBP θα έχουμε CT = CP . Αφού δε και AT = AP η AC μεσοκάθετος στο TP άρα
άξονας συμμετρίας του τετραγώνου αλλά και του τετράπλευρου CTAP.
Λόγω της πιο πάνω συμμετρίας {E_1} + (STC) = 2(CAP) , ενώ προφανώς {E_3} + (STC) = \displaystyle\frac{1}{2}E , όπου E = (ABCD) . Έτσι θα έχουμε και λόγω της (1) xa = \displaystyle\frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow \boxed{a = 2x} . Δηλαδή τα T,P μέσα των πλευρών του τετραγώνου και επομένως BT \bot  = CP .
Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα SCB\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SBP είναι όμοια με λόγο ομοιότητας k = 2,θα έχουμε: {E_3} = 4{E_2} \Rightarrow \boxed{{E_2} = \frac{1}{{20}}E}\,\,(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{{E_3} = \frac{1}{5}E}\,\,\,(3) .
Τώρα \displaystyle{{E_1} + {E_4} = \frac{3}{4}E \Rightarrow {E_4} = (\frac{3}{4} - \frac{1}{5})E \Rightarrow \boxed{{E_4} = \frac{{11}}{{20}}E}\,\,(4)}
Έτσι \boxed{\frac{{{E_2}}}{{{E_4}}} = \frac{1}{{11}}}

Νίκος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνη λογική 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 25, 2013 11:57 pm

Καλησπέρα.Μια προσπάθεια ακόμη

\displaystyle{{E_1} = {E_3} \Leftrightarrow {E_1} + {E_2} = {E_3} + {E_2} \Rightarrow (ATB) = (CPB) \Rightarrow \frac{{a \cdot x}}{2} = \frac{{PB \cdot a}}{2} \Leftrightarrow x = PB}
Αλλά \displaystyle{AP = x} .Έτσι \displaystyle{x = \frac{a}{2}} και \displaystyle{P,T} είναι μέσα των \displaystyle{AB,AD }
Τα τρίγωνα λοιπόν \displaystyle{TAB,CPB} είναι ίσα άρα \displaystyle{\angle x = \angle y \Rightarrow BF \bot CP}
\displaystyle{\frac{{CF}}{{FP}} = \frac{{C{B^2}}}{{B{P^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = 4 \Rightarrow \boxed{\frac{{{E_3}}}{{{E_2}}} = 4}}
\displaystyle{\begin{gathered}  {E_2} + {E_3} = (CPB) = \frac{E}{4} \Rightarrow \frac{{4{E_3}}}{{{E_2}}} + 4 = \frac{E}{{{E_2}}}(1) \hfill \\ {E_4} = E - 2{E_3} - {E_2} \Rightarrow \frac{{{E_4}}}{{{E_2}}} = \frac{E}{{{E_2}}} - 2\frac{{{E_3}}}{{{E_2}}} - 1\xrightarrow{{(1)}}\frac{{{E_4}}}{{{E_2}}} = 2\frac{{{E_3}}}{{{E_2}}} + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11 \hfill \\\end{gathered}\[ \Rightarrow \boxed{\frac{{{E_2}}}{{{E_4}}} = \frac{1}{{11}}}}
Συνημμένα
τετράγωνη λογική.png
τετράγωνη λογική.png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνη λογική 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 26, 2013 12:29 am

Καλησπέρα.
Για το 1) έχουμε E_{1}=E_{3}\Rightarrow \left(TAB \right)=\left( BCP\right)\Rightarrow  
PB=TA=AP δηλ. τα P,T είναι μέσα. Τα ίσα τρίγωνα TAB , BCP δίνουν, μέσω των γωνιών, BT\perp PCΈστω O η τομή των BT,CP. Aν πάρουμε \alpha =2 τότε \left(TAB \right)=1, BP=1, BT=\sqrt{5} και για τα όμοια τρίγωναBOP , TAB ισχύει
\frac{\left( BOP\right)}{\left( TAB\right)}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2} \Rightarrow \left(BOP \right)=\frac{1}{5}. Ακόμη είναι E_{4}= \alpha ^{2}-\left(TAB \right)-\left(CPB \right)+\left(BOP \right)=4-2+\frac{1}{5}=\frac{11}{5}\Rightarrow \frac{E_{2}}{E_{4}}=\frac{1}{11}.
Το 2) δεν το θεωρώ άχαρο αλλά ...<<Ζάχαρο>> οπότε ας το αναλάβουν όσοι δεν έχουν πρόβλημα με τα γλυκά !
Βλέπω τώρα παρόμοια λύση του φίλου Μιχάλη ,αλλά και του φίλου Νίκου πριν... το υποβάλω για να πω
Καλό ξημέρωμα σε όλους. Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης