Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10940
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 26, 2013 9:24 pm

Ας  μην  κουράσουμε  τον  Πυθαγόρα.png
Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , είναι AB=2BC=2a και M,N τα μέσα των AB,CD αντίστοιχα .

Φέρω MS\perp AC . Υπολογίστε τα τμήματα SA,SM,SB,SC,SN,SD , κάνοντας όση γίνεται

λιγότερη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος .


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μαρ 27, 2013 12:15 am

Ας-μην-κουράσουμε-τον-Πυθαγόρα.png
Ας-μην-κουράσουμε-τον-Πυθαγόρα.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Από Πυθαγόρειο στο \vartriangle ABC:\,AC = \sqrt 5 a και στο \vartriangle CMB:MC = \sqrt 2 a .

Από το εγγράψιμο SMBC:AS \cdot AC = AM \cdot AB \Leftrightarrow AS = \displaystyle\frac{{2{a^2}}}{{\sqrt 5 a}} = \displaystyle\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}.

Από \vartriangle ASM \approx  \vartriangle ABC \Rightarrow SM = \displaystyle\frac{{AS}}{2} = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 a}}{5}.

Από \vartriangle SAB \approx  \vartriangle MAC \Rightarrow \displaystyle\frac{{SB}}{{MC}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow SB = \displaystyle\frac{{2\sqrt {10} a}}{5}.

Από \vartriangle BSN \approx  \vartriangle ABC \Rightarrow SN = \displaystyle\frac{{SB}}{2} = \displaystyle\frac{{\sqrt {10} a}}{5}.

SC = AC - AS = \displaystyle\frac{{3\sqrt 5 a}}{5}.

Από \vartriangle ESA \approx  \vartriangle ABC \Rightarrow \displaystyle\frac{{EA}}{{AC}} = \displaystyle\frac{{AS}}{{BC}} \Leftrightarrow EA = 2a, οπότε SD = \displaystyle\frac{{EA}}{2} = a.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 27, 2013 12:19 am

KARKAR έγραψε:Στο ορθογώνιο ABCD , είναι AB=2BC=2a και M,N τα μέσα των AB,CD αντίστοιχα .Φέρω MS\perp AC . Υπολογίστε τα τμήματα SA,SM,SB,SC,SN,SD , κάνοντας όση γίνεται λιγότερη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος .
Καρτέσιος – Πυθαγόρας 6 – 0 και βάλε :lol:

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το A\left( {0,0} \right) και x'x \to AB,y'y \to AD οπότε οι συντεταγμένες των σημείων φαίνονται στο σχήμα.

Είναι {\lambda _{AC}} = \displaystyle\frac{a}{{2a}} = \displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\left( {AC} \right):y = \frac{1}{2}x} και με MS \bot AC \Rightarrow {\lambda _{MS}} =  - \displaystyle\frac{1}{{{\lambda _{MS}}}} =  - 2 \Rightarrow \boxed{\left( {MS} \right):y =  - 2\left( {x - a} \right)}

Οι συντεταγμένες του S προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των πιο πάνω εξισώσεων.

Έτσι \left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{1}{2}x \\  
  y =  - 2x + 2a \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 2y \\  
  y =  - 4y + 2a \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{4a}}{5} \\  
  y = \frac{{2a}}{5} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\frac{{4a}}{5},\frac{{2a}}{5}} \right)}
[attachment=0]2.png[/attachment]
Άρα \left( {SA} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5}} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SA} \right) = \displaystyle\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}, \left( {SM} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5} - a} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5}} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SA} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}}

\left( {SB} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5} - 2a} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5}} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SB} \right) = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}}, \left( {SC} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5} - 2a} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5} - a} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SC} \right) = \frac{{3a\sqrt {5} }}{5}}

\left( {SN} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5} - a} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5} - a} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SN} \right) = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}}, \left( {SD} \right) = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{4a}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{2a}}{5} - a} \right)}^2}}  \Rightarrow \boxed{\left( {SD} \right) = a}


Στάθης
Συνημμένα
2.png
2.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ας μην κουράσουμε τον Πυθαγόρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μαρ 27, 2013 8:22 am

Καλημέρα.

Θα χρησιμοποιήσουμε μια φορά το πυθαγόρειο
Προφανώς το \displaystyle{MTCB} είναι τετράγωνο πλευράς \displaystyle{a}
Έστω \displaystyle{f} ο περίκυκλος του τετραγώνου που προφανώς διέρχεται από το \displaystyle{S} (αφού \displaystyle{\angle MSC = {90^0}}) Τότε \displaystyle{\angle TSC = \angle CSB = {45^0} \Rightarrow \frac{{(TSE)}}{{(SEB)}} = \frac{{ST}}{{SB}}}.Αλλά, \displaystyle{\frac{{(TSE)}}{{(SEB)}} = \frac{{TF}}{{FB}} = \frac{{TC}}{{AB}} = \frac{\alpha }{{2\alpha }} = \frac{1}{2}}.Άρα \displaystyle{\frac{{ST}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{SB = 2ST}}.
Φέρνουμε από το \displaystyle{M} την παράλληλη στην \displaystyle{SB} που τέμνει την \displaystyle{AS} στο \displaystyle{L} .Επείδή \displaystyle{ML//SB,\angle BSM = {45^0} \Rightarrow \angle SML = {45^0}} κι αφού \displaystyle{\angle ASM = {90^0}} θα είναι τελικά \displaystyle{SM = SL = LA}.
Είναι \displaystyle{\angle DAC = \angle ACB = \angle SMA} (\displaystyle{SCBM} εγγράψιμο) οπότε τα τρίγωνα \displaystyle{DAL,ASM} είναι ίσα αφού \displaystyle{AL = SM,DA = AM = a,\angle DAL = \angle SMA}
Άρα \displaystyle{\angle DLA = \angle ASM = {90^0}} κι έτσι η \displaystyle{DL} είναι μεσοκάθετη της \displaystyle{AS} οπότε \displaystyle{\boxed{DS = a}}
Έφτασε τώρα η ώρα για τη μοναδική χρήση του π.θ
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ASM} έχουμε \displaystyle{A{S^2} + S{M^2} = {a^2} \Rightarrow 5S{M^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{SM = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}}} οπότε \displaystyle{\boxed{SA = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}} .Τώρα ,θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο \displaystyle{ASB} εύκολα μας δίνει \displaystyle{\boxed{SB = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}}} οπότε \displaystyle{\boxed{ST = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}}}
\displaystyle{\begin{gathered}  SA \cdot AC = AM \cdot AB \Rightarrow \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \cdot AC = 2{a^2} \Rightarrow SC = a\sqrt 5  \Rightarrow SC = AC - AS =  \hfill \\ 
   = a\sqrt 5  - \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \boxed{SC = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}} \hfill \\  
\end{gathered} }
Συνημμένα
1.png
1.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες