Υπολογισμός τμήματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11134
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπολογισμός τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 17, 2013 12:01 am

Υπολογιστική.png
Υπολογιστική.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Ισόπλευρο τρίγωνο ABC , πλευράς a , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και D είναι σημείο της BC ,

ώστε DC=2BD . Η AD τέμνει τον κύκλο στο E . Υπολογίστε το CE ( συναρτήσει του a ) .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6890
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 17, 2013 12:39 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Υπολογιστική.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ισόπλευρο τρίγωνο ABC , πλευράς a , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και D είναι σημείο της BC ,

ώστε DC=2BD . Η AD τέμνει τον κύκλο στο E . Υπολογίστε το CE ( συναρτήσει του a ) .
Υπολογισμός.png
Υπολογισμός.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Επειδή η EA διχοτομεί την \widehat {BEC} = {120^0} θα είναι EC = 2EB .Ας πούμε BE = y τότε x = EC = 2y . Από το θεώρημα συνημίτονου στο τρίγωνο EBC έχω :
B{E^2} = E{B^2} + E{C^2} - 2EB \cdot EC και άρα {a^2} = {y^2} + 4{y^2} + 2{y^2} \Rightarrow y = \displaystyle\frac{{a\sqrt 7 }}{7} συνεπώς \boxed{x = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}}

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Απρ 17, 2013 7:21 am

Καλημέρα στους φίλους.
Υπολογισμός-τμήματος.jpg
Υπολογισμός-τμήματος.jpg (34.27 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Αν φέρω τη διάμεσο – ύψος AM, τότε από Πυθαγόρειο στο \vartriangle ADM:\,AD = \displaystyle\frac{{a\sqrt 7 }}{3} και από \vartriangle ABD \approx  \vartriangle CED \Rightarrow x = \displaystyle\frac{{AB \cdot CD}}{{AD}} = \displaystyle\frac{{2a\sqrt 7 }}{7}.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1725
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Υπολογισμός τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Απρ 17, 2013 3:00 pm

μια ακόμη προσέγγιση

Έστω \textrm{BE=x} . \angle BEA=\angle AEC=60^{0}\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{x}{EC}\Rightarrow \textrm{EC=2x}
Τα τρίγωνα \textrm{ABE,DEC} είναι όμοια οπότε \frac{DE}{BE}=\frac{DC}{AB}\Rightarrow \textrm{DE}=\frac{DC}{AB}\cdot \textrm{BE}=\frac{2}{3}\cdot \chi (Αφού \textrm{DC}=\frac{2}{3}\cdot \alpha , \textrm{AB=}\alpha)
Ισχύει \textrm{BE}\cdot \alpha +\textrm{EC}\cdot \alpha=\textrm{EA}\cdot \alpha\Rightarrow\textrm{BE} +\textrm{EC}= \textrm{AE}\Rightarrow\textrm{AE}=3\chi
\textrm{AD}\cdot \textrm{DE}=\textrm{BD}\cdot\textrm{CD}\Rightarrow \left ( 3\chi -\frac{2}{3}\chi  \right )\cdot \frac{2}{3}\chi =\frac{1}{3}\alpha \cdot \frac{2}{3}\alpha \Rightarrow \chi =\frac{\alpha\sqrt{7} }{7}\Rightarrow\textrm{EC}=\frac{2\alpha\sqrt{7} }{7}
Αλλιώς ,με θεώρημα Stewart στο \textrm{ABC} τρίγωνο παίρνουμε άμεσα \textrm{AD}=\frac{\alpha \sqrt{7}}{3} και με χρήση της ομοιότητας των τριγώνων \textrm{ABD,DCE} παίρνουμε το ζητούμενο.
Παρατήρηση
Ο υπολογισμός του \textrm{DE} συναρτήσει του \chi γίνεται επίσης με χρήση εμβαδών
Συνημμένα
υπολογισμός.png
υπολογισμός.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες