Ωραίοι λόγοι

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11715
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ωραίοι λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 28, 2013 12:06 pm

Ωραίες και  αναπάντεχες  ιδιότητες.png
Ωραίες και αναπάντεχες ιδιότητες.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Η ακτίνα OA κύκλου (O,R) , είναι κάθετη στη διάμετρο BC και στην προέκτασή της , βρίσκεται

σημείο S , ώστε να είναι OS=2R . Η SB τέμνει τον κύκλο στο T και η CT την OA στο M .

Βρείτε , με όποια σειρά σας εξυπηρετεί , τους λόγους : \displaystyle \frac{OM}{MA} , \frac{BT}{TS}, \frac{TM}{MC} .

Σημείωση - σχεδόν άσχετη : Μη σκέφτεστε αμέσως την Ωραία Ελένη !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7347
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ωραίοι λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 28, 2013 2:11 pm

πολλοί λογοι ανεξαρτήτως σειράς.png
πολλοί λογοι ανεξαρτήτως σειράς.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
Επειδή \widehat {AOC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ATC} = {45^0} , οπότε η AT εσωτερική διχοτόμος στο

ορθογώνιο τρίγωνο TMS . Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα OBS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TMS είναι

όμοια ως έχοντα κοινή την οξεία γωνία \widehat S και άρα \displaystyle\frac{{TS}}{{TM}} = \displaystyle\frac{{OS}}{{OB}} = 2 συνεπώς και

λόγω του θεωρήματος διχοτόμου στο TMS θα ισχύει

\displaystyle\frac{{AS}}{{AM}} = 2 \Rightarrow OM = MA = \displaystyle\frac{R}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{{OM}}{{MA}} = 1}

Αν φέρουμε τώρα κάθετη στο B επί την BS και κόψει την ευθεία OA στο σημείο


H , τα ορθογώνια τρίγωνα OBH,OCM θα έχουν

OB = OC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OCM} = \widehat {OBH} ( εντός εναλλάξ των παραλλήλων MC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BO

με τέμνουσα την BC ) . Έτσι OH = OM = \displaystyle\frac{R}{2} .

Μετά απ’ αυτά έχουμε :

\boxed{\displaystyle\frac{{BT}}{{ST}} = \displaystyle\frac{{HM}}{{MS}} = \displaystyle\frac{2}{3}\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\displaystyle\frac{{TM}}{{MC}} = \displaystyle\frac{{TM}}{{HB}} = \displaystyle\frac{{SM}}{{SH}} = \displaystyle\frac{3}{5}}

Φιλικά Νίκος


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Ωραίοι λόγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Κυρ Απρ 28, 2013 2:16 pm

KARKAR έγραψε:Η ακτίνα OA κύκλου (O,R) , είναι κάθετη στη διάμετρο BC και στην προέκτασή της , βρίσκεται

σημείο S , ώστε να είναι OS=2R . Η SB τέμνει τον κύκλο στο T και η CT την OA στο M .

Βρείτε , με όποια σειρά σας εξυπηρετεί , τους λόγους : \displaystyle \frac{OM}{MA} , \frac{BT}{TS}, \frac{TM}{MC} .

Σημείωση - σχεδόν άσχετη : Μη σκέφτεστε αμέσως την Ωραία Ελένη !
Γεωμετρια mathematica 21.PNG
Γεωμετρια mathematica 21.PNG (15.73 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Βλέπουμε ότι τα τρίγωνα \displaystyle{BTC,OBS} είναι όμοια μεταξύ τους κι επίσης ότι \displaystyle{OMC\simeq BTC \ , \ MTS\simeq OBS \Leftrightarrow OMC\simeq MTS}.

Ο λόγος ομοιότητας των \displaystyle{OMC \ , \ OBS} είναι \displaystyle{\frac{1}{2}} συνεπώς \displaystyle{\frac{OM}{OA}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow OM=MA \Leftrightarrow \frac{OM}{MA}=1}}.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle{MS=\frac{3R}{2}}και πως \displaystyle{MC=\frac{R\sqrt{5}}{2}}.

Ακόμη με Π.Θ. στο τρίγωνο \displaystyle{OBS} βρίσκουμε ότι \displaystyle{BS=R\sqrt{5}} επομένως \displaystyle{\frac{MS}{BS}=\frac{3\sqrt{5}}{10}=\frac{TM}{R} \Leftrightarrow TM=\frac{3R\sqrt{5}}{10} \Leftrightarrow \frac{TM}{MC}=\frac{3}{5}}.

Τον τρίτο λόγο θα τον βάλω άλλη φορά γιατί τώρα δεν προλαβαίνω.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1859
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ωραίοι λόγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 28, 2013 3:41 pm

Γεια χαρά.Το πρώτο μέρος της λύσης μου είναι το ίδιο με του Νίκου.

\angle AOC=90^{0}\Rightarrow \angle CTA=45^{0} (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης) άρα η \textrm{TA} είναι διχοτόμος της \angle TMS οπότε \frac{TM}{TS}=\frac{MA}{AS} . Όμως τα τρίγωνα \textrm{MTS,OMC} είναι όμοια κι έτσι
\frac{MT}{TS}=\frac{OM}{OC} Άρα \frac{MA}{AS}=\frac{OM}{OC} κι αφού \textrm{OC=AS=R} θα είναι \frac{OM}{MA}=1
Στο τρίγωνο \textrm{BOS} με διατέμνουσα την \textrm{TMC} παίρνουμε
\frac{MO}{MS}\cdot \frac{TS}{TB}\cdot \frac{CB}{CO}=1. Αλλά \textrm{MO}=\frac{R}{2},\textrm{MS}=\frac{3R}{2}\Rightarrow \frac{MO}{MS}=\frac{1}{3} Άρα \frac{1}{3}\cdot \frac{TS}{TB}\cdot \frac{2R}{R}=1\Rightarrow \frac{TS}{TB}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{BT}{TS}=\frac{2}{3}
Στο τρίγωνο \textrm{BTC} με διατέμνουσα την \textrm{OMS} παίρνουμε
\frac{MT}{MC}\cdot \frac{OC}{OB}\cdot \frac{SB}{ST}=1\Rightarrow \frac{MT}{MC}\cdot \frac{SB}{ST}=1\Rightarrow \frac{MT}{MC}=\frac{ST}{SB}=\frac{3}{5}
Συνημμένα
ωραίοι λόγοι.png
ωραίοι λόγοι.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11715
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ωραίοι λόγοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 28, 2013 6:20 pm

Ας το ποικίλουμε λίγο ακόμα :
Ωραίες και  αναπάντεχες  ιδιότητες.png
Ωραίες και αναπάντεχες ιδιότητες.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
1) Από την ομοιότητα των SOB,CTB,COM , προκύπτει ότι : \displaystyle \frac{OM}{OC}=\frac{1}{2}\Rightarrow OM=\frac{R}{2}

2) Φέρω OD(=x) \perp BT . Τώρα \displaystyle MT=\frac{3x}{4} και \displaystyle MC=2x-\frac{3x}{4}=\frac{5x}{4} .

3) Με Π.Θ στο BTC , δεδομένου ότι CT=2x , BT=x , βρίσκω \displaystyle x=\frac{2R}{\sqrt{5}} και με δύναμη του S

ως προς τον κύκλο παίρνω \displaystyle y(y+x)=3R^2...\Leftrightarrow y=\frac{3R}{\sqrt{5}} .

Η αναφορά στην Ωραία Ελένη , ήταν "έμμεση υπόδειξη" για λύση χωρίς ... Μενέλαο :lol:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1859
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ωραίοι λόγοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 29, 2013 3:36 am

Επειδή δεν κατάλαβα το υπονοούμενο της «ωραίας Ελένης» ,δίνω μια άλλη λύση.

Ισχύει , \textrm{KM}\cdot \textrm{MA}=\textrm{MT}\cdot \textrm{MC} κι αφού το \textrm{COTS} προφανώς είναι εγγράψιμο , ισχύει επίσης, \textrm{CM}\cdot MT=\textrm{MO}\cdot \textrm{MS} ,Αρα \textrm{KM}\cdot \textrm{MA}=\textrm{MO}\cdot \textrm{MS} \Rightarrow \left ( R+OM \right )\cdot \left ( R-OM \right )=\left \left ( R-MA \right )\cdot \left ( R+MA \right )\Rightarrow \textrm{OM}^{2}=\textrm{AM}^{2}\Rightarrow \frac{OM}{AM}=1 και \textrm{OM}=\frac{R}{2}
Φέρνουμε τώρα την παράλληλη από το \textrm{B} προς την \textrm{KS} που τέμνει την \textrm{CT} στο σημείο \textrm{H}.Επειδή η \textrm{OS} είναι μεσοκάθετη της \textrm{BC} το \textrm{M} είναι μέσον της \textrm{CH} οπότε \textrm{BH=R} ,\textrm{MC=MH} .Ακόμη, \textrm{MS}=\frac{3R}{2}. 
\textrm{BH//MS}\Rightarrow \frac{BH}{MS}=\frac{BT}{TS}=\frac{HT}{TM}.Αλλά \frac{BH}{MS}=\frac{R}{\frac{3R}{2}}=\frac{2}{3}. Άρα \frac{BT}{TS}=\frac{2}{3} κι ακόμη \frac{HT}{TM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{TM}{HM}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{TM}{MC}=\frac{3}{5}$
Συνημμένα
2.png
2.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1422
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Ωραίοι λόγοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Μάιος 03, 2013 10:45 pm

Θέμα κατάλληλο να επιλυθεί και με Αναλυτικές μεθόδους.
Ορίζουμε ως κέντρο του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων το κέντρο Ο του κύκλου και ως άξονες συντεταγμένων τους φορείς των BC και OS.
Τότε τα σημεία έχουν τις εξής συντεταγμένες O(0, 0), B(0, a), C(0, -a), A(a, 0), S(2a, 0).

Το σημείο T είναι το κοινό σημείο της ευθείας BS και του κύκλου. Η επίλυση του συστήματος x^2 + y^2 = a^2 και y = -x/2 + a,
δίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου Τ είναι \left(\frac{4a}{5}, \frac{3a}{5} \right).

το σημείο M είναι η τομή του άξονα xx' με την ευθεία CT, η εξίσωση της οποίας είναι y = 2x - a.

Άρα, οι συντεταγμένες του σημείου M είναι M(a/2, 0).
Τώρα, ο υπολογισμός των ζητούμενων λόγων είναι πολύ απλός.
(Γιώργο Ρ., αμάρτησα ...)

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Φανης Θεοφανιδης και 2 επισκέπτες