Ορθογώνιο σε ισοσκελές

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 15, 2013 12:24 am

Ορθογώνιο  σε  ισοσκελές.png
Ορθογώνιο σε ισοσκελές.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB .

Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή .


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Ιούλ 15, 2013 1:05 am

Τα ορθογώνια τρίγωνα \triangle AED και \triangle ADC είναι όμοια, με \angle EAD=\angle DAC=\angle A/2 και \angle EDA=\angle DCA.

Αφού N,M μέσα των ED και DC αντίστοιχα, τα τρίγωνα \triangle AND και \triangle AMC είναι επίσης όμοια (αφού οι πλευρές ND, AD είναι ανάλογες των MC, AC, αντίστοιχα, κι οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες \angle EDA=\angle DCA).

Συνεπώς, \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AD}{AC} (1) και \angle NAD=\angle MAC (*). Από (*) έπεται ότι \angle NAM=\angle DAC (2).

Από (1), (2) έπεται ότι τα τρίγωνα \triangle ANM και \triangle ADC είναι όμοια.

Συνεπώς, \angle ANM=\angle ADC=90^{\circ}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7203
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 15, 2013 1:30 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ορθογώνιο σε ισοσκελές.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB .

Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή .
Νομίζω ότι είναι γνωστή (αλλά καλή) και πρέπει να έχει αναρτηθεί από γνωστό αλλά εξ ίσου καλό γεωμέτρη.
παλια αλλά καλλή.png
παλια αλλά καλλή.png (26.1 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Αν H το μέσο του BE τότε HN//BD \Rightarrow HN \bot AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HD//EC//NM\,\,\,(\Pi ) .
Το N είναι ορθόκεντρο στο τρίγωνο AHD αφού HN \bot AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE \bot AH . Συνεπώς AN \bot HD και λόγω της παραλληλίας (\Pi ) AN \bot NM .

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 15, 2013 6:44 pm

Doloros έγραψε:
Νομίζω ότι είναι γνωστή (αλλά καλή) και πρέπει να έχει αναρτηθεί από γνωστό αλλά εξ ίσου καλό γεωμέτρη.
Νίκο υποψιάζομαι ότι την συγχέεις με αυτή , ενώ η παραγωγή της έγινε από εκείνη . ( Καλός ο γάτος ! )


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Ιούλ 15, 2013 11:11 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ορθογώνιο σε ισοσκελές.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB .

Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή .
(CZ||DE ,BD=DC) \rightarrow BE=EZ \rightarrow CE διάμεσος του τργ BCZ

AN διάμεσος του τργ AED

\triangle BCZ \sim \triangle AED ( έχουν ίσες γωνίες αφού οι πλευρές του ενός τριγώνου είναι κάθετες στις πλευρές του άλλου)

Επομένως είναι όμοια και τα αντίστοιχα τργ EAN , ZCE άρα \angle EAN =\angle ZCE  \rightarrow AZKC εγγράψιμο άρα

90^0= \angle  AZC =\angle AKC=90^0=KNM (αφού EC||=2\cdot NM)
Συνημμένα
ορθογωνιο και ισοσκελές _2013-07-15_22-56-46.jpg
ορθογωνιο και ισοσκελές _2013-07-15_22-56-46.jpg (21.37 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 15, 2013 11:20 pm

KARKAR έγραψε:
Doloros έγραψε:
Νομίζω ότι είναι γνωστή (αλλά καλή) και πρέπει να έχει αναρτηθεί από γνωστό αλλά εξ ίσου καλό γεωμέτρη.
Νίκο υποψιάζομαι ότι την συγχέεις με αυτή , ενώ η παραγωγή της έγινε από εκείνη . ( Καλός ο γάτος ! )
η παρόμοια που αναφέρετε προέρχεται μάλλον από την 2η Πανρωσική Ολυμπιάδα του 1962 για περισσότερα εδώ

όντως καλοί οι Ρώσοι :yes3:


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ορθογώνιο σε ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Δευ Ιούλ 15, 2013 11:57 pm

KARKAR έγραψε:
Ορθογώνιο σε ισοσκελές.png
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB .

Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή .
καλησπέρα..

και μία λογιστική.

Έστω AB=AC=b,\,\,\,BC=2a. Επειδή: \bigtriangleup ADB:\hat{D}=90^{\circ} \Rightarrow BD^{2}=EB\cdot BA\displaystyle\Rightarrow ...EB=\frac{a^{2}}{b} οπότε: ED^{2}=EB\cdot AE\displaystyle\Rightarrow ..ED^{2}=\frac{a^{2}\cdot (b^{2}-a^{2})}{b^{2}}

Από \displaystyle\bigtriangleup EBD: \sigma \upsilon \nu \hat{B}=\frac{EB}{BD}\Rightarrow ..\sigma \upsilon \nu \hat{B}=\frac{a}{b}.

Έτσι από νόμο συνημιτόνων στο \displaystyle\bigtriangleup EBC\Rightarrow ...EC^{2}=\frac{4a^{2}\cdot b^{2}-3a^{4}}{b^{2}}.

Όμως στο \bigtriangleup DEC έχουμε: M,N μέσα των DC,DEαντίστοιχα και άρα \displaystyle\MN=\frac{EC}{2}\Rightarrow MN^{2}=\frac{EC^{2}}{4}\Rightarrow ...NM^{2}=\frac{4a^{2}b^{2}-3a^{4}}{4b^{2}}\,\,\,(a).

Επίσης στο \displaystyle\bigtriangleup ANE:\hat{N}=90^{\circ} \Rightarrow AN^{2}=NE^{2}+EA^{2}\Rightarrow ....\Rightarrow AN^{2}=\frac{4b^{4}-7a^{2}b^{2}+3a^{4}}{4b^{2}}\,\,\,\,(b)

Τέλος από \displaystyle\bigtriangleup ADM:\hat{D}=90^{\circ} \Rightarrow ...AM^{2}=\frac{4b^{2}-3a^{2}}{4}\,\,\,\,(c)

Οπότε από (a), (b), (c) έχουμε: MN^{2}+AN^{2}=......=AM^{2}\Rightarrow \boxed{AN\perp NM}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες