Κάθετη στη διάμετρο

#1

: Πάντα κάθετη.png (19.99 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Έστω κύκλος (C)

διαμέτρου

και χορδή του $CD \bot AB$ . Στο ημικύκλιο που βρίσκεται το

κινείται σημείο

.
Η

τέμνει την ευθεία

στο

και η

στο

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει τον κύκλο (C)

στο

. Να δειχθεί ότι $TZ \bot AB$ .

Νίκος

#2

Doloros έγραψε: Έστω κύκλος διαμέτρου και χορδή του $CD \bot AB$ . Στο ημικύκλιο που βρίσκεται το κινείται σημείο .
Η τέμνει την ευθεία στο και η στο . Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τον κύκλο στο . Να δειχθεί ότι $TZ \bot AB$ .

Νίκος

: 1.png (27.29 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

Με κάθετη στη διάμετρο του $\left( O \right) \Rightarrow \tau o\xi .CD = \tau o\xi .BD \Rightarrow \angle SBC = \angle SBD\mathop \Rightarrow \limits^{SA \bot SB} S.ABZE$ αρμονική οπότε και η σειρά $\left( {A,B,Z,E} \right)$

είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με $TA \bot TB \Rightarrow TB$ διχοτόμο της γωνίας $\angle ZTE \Rightarrow \boxed{\angle BTZ = \angle ETB}:\left( 1 \right)$ .

Με $OT \bot ET$ (από τη διάμετρο του "νέου" ημικυκλίου ) προκύπτει ότι εφαπτόμενη του $\left( O \right) \Rightarrow \angle ETB = \angle TAB\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\angle BTZ = \angle TAB\mathop \Rightarrow \limits^{TB \bot TA} TZ \bot AB \Rightarrow \mathop \Rightarrow \limits^{DE \bot AB} \boxed{TZ\parallel DE}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Ας το δούμε κι αλλιώς κι ας μην είναι η συντομότερη των λύσεων..

Θεωρώ την $\displaystyle{BL \bot ET}$ που τέμνει τον κύκλο στο $\displaystyle{Q}$ οπότε $\displaystyle{\angle AQB = {90^0}}$ .Έστω ακόμη $\displaystyle{TO \cap QA = H}$ .Επειδή , $\displaystyle{\angle ETO = {90^0}}$ το $\displaystyle{QHTL}$ είναι ορθογώνιο κι επομένως $\displaystyle{H}$ μέσον της $\displaystyle{AQ}$ και η $\displaystyle{TH}$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{AQ}$ άρα $\displaystyle{\angle TAQ = \angle AQT = \angle ABT = \angle TBL = \omega }$ (γιατί το $\displaystyle{QBTA}$ είναι εγγράψιμο)και $\displaystyle{\angle HTA = \angle QTH = y}$
Επειδή , $\displaystyle{\sphericalangle CB = \measuredangle BD}$ θα είναι $\displaystyle{\angle DSB = \angle BSC = x \Rightarrow SB}$ διχοτόμος της $\displaystyle{\angle ZSE}$ κι αφού $\displaystyle{SA \bot SB \Rightarrow SA}$ εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου $\displaystyle{\angle SZE}$ .Άρα $\displaystyle{\frac{{AZ}}{{AE}} = \frac{{BZ}}{{BE}}(1)}$
Θα αποδείξουμε τώρα ότι τα σημεία $\displaystyle{H,Z,L}$ είναι συνευθειακά και γι αυτό είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{{HQ}}{{HA}} \cdot \frac{{ZA}}{{ZB}} \cdot \frac{{LB}}{{LQ}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ZA}}{{ZB}} \cdot \frac{{LB}}{{LQ}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ZA}}{{ZB}} = \frac{{LQ}}{{LB}}}$ κι επειδή από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ $\displaystyle{\frac{{ZA}}{{ZB}} = \frac{{AE}}{{EB}}}$ αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{LQ}}{{LB}}}$ .Η τελευταία όμως είναι αληθής αφού $\displaystyle{AQ,TL \bot QL \Rightarrow AQ//TL \Rightarrow \frac{{LB}}{{BQ}} = \frac{{AB}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{LB + BQ}}{{BQ}} = \frac{{AB + BE}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{LQ}}{{BQ}} = \frac{{AE}}{{BE}}}$ ..
Τώρα θα είναι $\displaystyle{\angle QTH = \angle QLH = y}$ .Όμως , $\displaystyle{\angle y + \angle OTB = {90^0} = \angle OTB + \angle BTE \Rightarrow \angle BTE = y}$ κι αφού το τρίγωνο $\displaystyle{BLT}$ είναι ορθογώνιο,θα είναι $\displaystyle{\angle ZLT = \omega \Rightarrow ZTLB}$ εγγράψιμο ,άρα $\displaystyle{\boxed{\angle TZB = {{90}^0}}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

Nick1990 · #4

Τα

είναι συμμετρικά ως προς τη διάμετρο. Είναι $\angle{ZOD} = \frac{\angle{COD}}{2} = \angle{CSD} = \angle{ESZ}$ , άρα αφού $\angle{SZE} = \angle{OZD}$ τα τρίγωνα $\triangle{SZE},$ και $\triangle{OZD}$ είναι όμοια οπότε:

$\frac{OZ}{SZ} = \frac{ZD}{ZE} \Leftrightarrow OZ \times ZE = SZ \times ZD$ , άρα το

ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων όπως προφανώς και το

, οπότε η ευθεία

ως ριζικός άξονας είναι κάθετη στη διάκεντρο.

Κάθετη στη διάμετρο

Κάθετη στη διάμετρο

Re: Κάθετη στη διάμετρο

Re: Κάθετη στη διάμετρο

Re: Κάθετη στη διάμετρο

Μέλη σε σύνδεση