Γαλάζια περιοχή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9570
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γαλάζια περιοχή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 04, 2013 10:14 am

Γαλάζια  περιοχή.png
Γαλάζια περιοχή.png (11.73 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Βρείτε το εμβαδόν της μπλε περιοχής . Τριγωνομετρία επιτρέπεται . ( Οι "πλευρές" έχουν το ίδιο πλάτος ) .

Η άσκηση είναι ακατάλληλη για "βιαστικούς" :lol:


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3070
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γαλάζια περιοχή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Δεκ 04, 2013 11:26 am

Ελπίζω να μη βιάστηκα Θανάση ;)
Γαλάζια περιοχή.png
Γαλάζια περιοχή.png (20.66 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Έστω I το έγκεντρο του \triangleleft ABC. Από νόμο συνημιτόνων εύκολα παίρνουμε \widehat B = {60^ \circ } και \left( {ABC} \right) = \dfrac{{5 \cdot 8 \cdot \eta \mu {{60}^ \circ }}}{2} = 10\sqrt 3 .

Το \triangleleft A'B'C' είναι ομοιόθετο του \triangleleft ABC με κέντρο ομοιοθεσίας το I. Αν φέρουμε 1 = BD \bot AB τότε η παράλληλη από το D προς την AB προσδιορίζει τα B',\,A' (οι τομές με τα BI,\,AI αντίστοιχα).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο B'DB είναι BB' = 2BD = 2 και αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο BI = \sqrt {\dfrac{{(\tau  - b)ac}}{\tau }} (απόσταση της κορυφής B απ’ το έγκεντρο, όπου \tau η ημιπερίμετρος του τριγώνου) παίρνουμε BI = 2\sqrt 3, συνεπώς IB' = 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right).

Έτσι, \displaystyle{\dfrac{{(A'B'C')}}{{(ABC)}} = {\left( {\dfrac{{IB'}}{{IB}}} \right)^2} \Leftrightarrow \dfrac{{(A'B'C')}}{{10\sqrt 3 }} = \dfrac{{4 - 2\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow (A'B'C') = \dfrac{{40\sqrt 3  - 60}}{3}}, οπότε {E_{\gamma \alpha \lambda \alpha \zeta \iota o}} = (ABC) - (A'B'C') =  \dfrac{{60 - 10\sqrt 3 }}{3}\,\,\tau .\mu .


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6530
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γαλάζια περιοχή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 04, 2013 11:44 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Γαλάζια περιοχή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε το εμβαδόν της μπλε περιοχής . Τριγωνομετρία επιτρέπεται . ( Οι "πλευρές" έχουν το ίδιο πλάτος ) .

Η άσκηση είναι ακατάλληλη για "βιαστικούς" :lol:
Γαλάζια περιοχή.png
Γαλάζια περιοχή.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Καλημέρα

Με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε \displaystyle{(ABC) = 10\sqrt 3 }.
Αφού οι πλευρές έχουν το ίδιο πλάτος, οι AA', BB' ,CC' διχοτομούν τις γωνίες και των δύο τριγώνων και I είναι το κοινό τους έγκεντρο.
Έστω \displaystyle{r,r'}, οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων του μεγάλου και του μικρού τριγώνου αντίστοιχα, και \displaystyle{\tau ,\tau '}, οι ημιπερίμετροί τους.

\displaystyle{(ABC) = 10\sqrt 3  = \tau r \Leftrightarrow r = \sqrt 3 }, οπότε \displaystyle{r' = \sqrt 3  - 1}.

Έχουμε λοιπόν \displaystyle{\frac{{(A'B'C')}}{{(ABC)}} = {\left( {\frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \Leftrightarrow (A'B'C') = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{3}10\sqrt 3  = \frac{{40\sqrt 3  - 60}}{3}}

Το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής είναι: \displaystyle{E = (ABC) - (A'B'C') = \frac{{60 - 10\sqrt 3 }}{3}}

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Μιχάλης. Καλημέρα Μιχάλη.
Είπα να μη βιαστώ και να υπακούσω στην προτροπή του Θανάση

Καλή συνέχεια

Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες