Ισεμβαδικά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7081
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισεμβαδικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 07, 2016 1:04 am

Ισεμβαδικά..png
Ισεμβαδικά..png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
Η διχοτόμος AD τριγώνου ABC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο N και έστω M το μέσο της BC και E, F οι προβολές των
D, N αντίστοιχα πάνω στην AC. Να δείξετε ότι (BMN)=(EFN)


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1678
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισεμβαδικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Μαρ 07, 2016 12:40 pm

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ισεμβαδικά..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διχοτόμος AD τριγώνου ABC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο N και έστω M το μέσο της BC και E, F οι προβολές των
D, N αντίστοιχα πάνω στην AC. Να δείξετε ότι (BMN)=(EFN)

Kαλημέρα Γιώργο,

DE//FN\Leftrightarrow \hat{ENF}=\hat{\phi }=\hat{DEN}, 
 
(EFN)=(DNF)=\dfrac{1}{2}(DN)(NF)cos\dfrac{A}{2},(1),\hat{DNF}=90^{0}-\dfrac{A}{2}, 
 
(NMB)=\dfrac{1}{2}(MB)(MN)sin\rho =\dfrac{1}{2}(MB)(MN)cos\dfrac{A}{2}, 
 
\rho =90^{0}-\hat{CBN}=90-\frac{A}{2}

Αρκεί να αποδειχθει ότι (MB)(MN)=(DN)(NS)

Πράγματι τα τρίγωνα DMN,NSB είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και

\hat{SNB}=90^{0}-\hat{ACN}=90^{0}-C-\dfrac{A}{2}, 
 
\hat{DNM}=90^{0}-\hat{SMN}=90^{0}-C-\dfrac{A}{2},

Τα σημεία S,M,F είναι συνευθειακά γιατί \hat{SMN}+\hat{FMC}=90^{0}

Γιάννης
Συνημμένα
Ισεμβαδικά.png
Ισεμβαδικά.png (54.7 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1441
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 07, 2016 4:01 pm

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ισεμβαδικά..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διχοτόμος AD τριγώνου ABC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο N και έστω M το μέσο της BC και E, F οι προβολές των
D, N αντίστοιχα πάνω στην AC. Να δείξετε ότι (BMN)=(EFN)
\displaystyle{ED//NF \Rightarrow \left( {ENF} \right) = \left( {FDN} \right)}

Προφανώς όλες οι γωνίες \displaystyle{x} είναι ίσες ως βαίνουσες σε ίσα τόξα ,οπότε από τα ορθογώνια τρίγωνα \displaystyle{BMN,ANF \Rightarrow \angle MNB = \angle FND \Rightarrow \angle DNB = \angle MNF}

κι επειδή \displaystyle{\angle MNB = \angle MNC \Rightarrow \angle y = \angle \theta  \Rightarrow \vartriangle DMN \simeq \vartriangle NCF \Rightarrow \boxed{\frac{{NF}}{{NC}} = \frac{{MN}}{{DN}}}(1)}

\displaystyle{\frac{{\left( {BMN} \right)}}{{\left( {EFN} \right)}} = \frac{{\left( {BMN} \right)}}{{\left( {DFN} \right)}} = \frac{{MN \cdot NB}}{{DN \cdot NF}} = \frac{{MN \cdot NC}}{{DN \cdot NF}} = 1} λόγω της \displaystyle{(1)} κι επειδή \displaystyle{NB = NC}.Άρα \displaystyle{\boxed{\left( {BMN} \right) = \left( {DFN} \right) = \left( {EFN} \right)}}
ισοδύναμα.png
ισοδύναμα.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3118
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισεμβαδικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μαρ 09, 2016 12:29 am

george visvikis έγραψε: Η διχοτόμος AD τριγώνου ABC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο N και έστω M το μέσο της BC και E, F οι προβολές των
D, N αντίστοιχα πάνω στην AC. Να δείξετε ότι (BMN)=(EFN)
Καλημέρα στους φίλους. Πανέμορφη άσκηση Γιώργο!
Ισεμβαδικά.jpg
Ισεμβαδικά.jpg (101.84 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Από το εγγράψιμο MFCN και το εγγεγραμμένο ACNB οι πορτοκαλί γωνίες \omega είναι ίσες, άρα και οι πράσινες γωνίες \varphi λόγω της διχοτόμου NM.

Από \triangleleft NMD \sim  \triangleleft NFC \Rightarrow DN \cdot NF = MN \cdot NC

\Leftrightarrow \dfrac{{DN \cdot NF\eta \mu (\omega  + \varphi )}}{2} = \dfrac{{MN \cdot NC\eta \mu (\omega  + \varphi )}}{2}

\Leftrightarrow (DFN) = (CMN) \Leftrightarrow (EFN) = (BMN)


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης