Ισεμβαδικά

#1

: Ισεμβαδικά..png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Η διχοτόμος

τριγώνου

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

και έστω

το μέσο της

και

οι προβολές των
D, N

αντίστοιχα πάνω στην

. Να δείξετε ότι (BMN)=(EFN)

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ισεμβαδικά..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο και έστω το μέσο της και οι προβολές των
αντίστοιχα πάνω στην . Να δείξετε ότι

Kαλημέρα Γιώργο,

$DE//FN\Leftrightarrow \hat{ENF}=\hat{\phi }=\hat{DEN}, (EFN)=(DNF)=\dfrac{1}{2}(DN)(NF)cos\dfrac{A}{2},(1),\hat{DNF}=90^{0}-\dfrac{A}{2}, (NMB)=\dfrac{1}{2}(MB)(MN)sin\rho =\dfrac{1}{2}(MB)(MN)cos\dfrac{A}{2}, \rho =90^{0}-\hat{CBN}=90-\frac{A}{2}$

Αρκεί να αποδειχθει ότι (MB)(MN)=(DN)(NS)

Πράγματι τα τρίγωνα DMN,NSB

είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και

$\hat{SNB}=90^{0}-\hat{ACN}=90^{0}-C-\dfrac{A}{2}, \hat{DNM}=90^{0}-\hat{SMN}=90^{0}-C-\dfrac{A}{2},$

Τα σημεία S,M,F

είναι συνευθειακά γιατί $\hat{SMN}+\hat{FMC}=90^{0}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ισεμβαδικά..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο και έστω το μέσο της και οι προβολές των
αντίστοιχα πάνω στην . Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ED//NF \Rightarrow \left( {ENF} \right) = \left( {FDN} \right)}$

Προφανώς όλες οι γωνίες $\displaystyle{x}$ είναι ίσες ως βαίνουσες σε ίσα τόξα ,οπότε από τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{BMN,ANF \Rightarrow \angle MNB = \angle FND \Rightarrow \angle DNB = \angle MNF}$

κι επειδή $\displaystyle{\angle MNB = \angle MNC \Rightarrow \angle y = \angle \theta \Rightarrow \vartriangle DMN \simeq \vartriangle NCF \Rightarrow \boxed{\frac{{NF}}{{NC}} = \frac{{MN}}{{DN}}}(1)}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {BMN} \right)}}{{\left( {EFN} \right)}} = \frac{{\left( {BMN} \right)}}{{\left( {DFN} \right)}} = \frac{{MN \cdot NB}}{{DN \cdot NF}} = \frac{{MN \cdot NC}}{{DN \cdot NF}} = 1}$ λόγω της $\displaystyle{(1)}$ κι επειδή $\displaystyle{NB = NC}$ .Άρα $\displaystyle{\boxed{\left( {BMN} \right) = \left( {DFN} \right) = \left( {EFN} \right)}}$

: ισοδύναμα.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: Η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο και έστω το μέσο της και οι προβολές των
αντίστοιχα πάνω στην . Να δείξετε ότι

Καλημέρα στους φίλους. Πανέμορφη άσκηση Γιώργο!

: Ισεμβαδικά.jpg (101.84 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

Από το εγγράψιμο MFCN

και το εγγεγραμμένο ACNB

οι πορτοκαλί γωνίες $\omega$ είναι ίσες, άρα και οι πράσινες γωνίες $\varphi$ λόγω της διχοτόμου

.

Από $\triangleleft NMD \sim \triangleleft NFC \Rightarrow DN \cdot NF = MN \cdot NC$

$\Leftrightarrow \dfrac{{DN \cdot NF\eta \mu (\omega + \varphi )}}{2} = \dfrac{{MN \cdot NC\eta \mu (\omega + \varphi )}}{2}$

$\Leftrightarrow (DFN) = (CMN) \Leftrightarrow (EFN) = (BMN)$

Ισεμβαδικά

Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Μέλη σε σύνδεση