Tρείς κύκλοι με κοινή εφαπτομένη

[STOPJOHN]

Έστω το σημείο επαφής της και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο . Έστω τυχαίο σημείο της πλευράς ,διάφορο από τα και .Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα εφάπτονται μιας ευθείας

Γιάννης

[Al.Koutsouridis]

Έστω το σημείο επαφής της και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο . Έστω τυχαίο σημείο της πλευράς ,διάφορο από τα και .Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα εφάπτονται μιας ευθείας

Αρχικά θα αποδείξουμε το παρακάτω βοηθητικό λήμμα.

Λήμμα: Δίνοναι τρείς κύκλοι εξωτερικά ο ένας του άλλου. Αν το άθροισμα των εσωτερικών εφαπτομένων, που τέμνονται μεταξύ τους, ενός εκ των κύκλων προς τους άλλους δύο είναι ίσο με την κοινή εξωτερική εφαπομένη των δυο αυτών κύκλων, τότε και ο τρίτος εφάπτεται αυτής της κοινής εξωτερικής εφαπτομένης.

Απόδειξη: Έστω οι τρείς κύκλοι, οι κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες, που τέμνονται μταξύ τους, του κύκλου με τους και το σημείο τομής τους. η κοινή εξωτερική εφαπτόμενη των . Ισχύει . Θα δείξουμε ότι το είναι σημείο του τμήματος , γεγονός που συνεπάγεται ότι ο εφάπτεται του .

Έστω ότι το βρίσκεται εκτός του και εξωτερικά του χωρίου που ορίζουν οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των (βλέπε σχήμα). Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με εις άτοπο απαγωγή, ότι τα τμήματα τέμνουν την ευθεία εξωτερικά του τμήματος . Έστω αντίστοιχα, αυτά τα σημεία τομής. Τότε θα έχουμε

, άτοπο.

Ομοίως στην περίπτωση που το είναι εσωτερικό του χωρίου που ορίζουν οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των , βρίσκουμε ότι . Άρα το βρίσκεται πάνω στο τμήμα .

treis_kukloi_efaptomenh_se_eutheia_lhmma.png (19.06 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Στο πρόβλημά μας τώρα.

Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου () με τις πλευρές αντίστοιχα, τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου () με τις πλευρές αντίστοιχα και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου () με τις πλευρές αντίστοιχα.

Το ευθύγραμμο τμήμα είναι κοινή εσωτερική εφαπτόμενη των κύκλων . Ας είναι το έτερο κοινό εφαπτόμενο εσωτερικά τμήμα σε αυτούς τους κύκλους, με το σημείο να ανήκει στον . Τότε θα είναι .

Ομοίως, το ευθύγραμμο τμήμα είναι κοινά εσωτερικά εφαπτόμενο στους κύκλους και ας είναι το έτερο κοινό εσωτερικά εφαπτόμενο τμήμα των δυο αυτών κύκλων, με το σημείο να ανήκει στον . Τότε θα ισχύει .

Εξετάζουμε το άθροισμα . Έχουμε διαδοχικά:

















.

() επειδή το σημείο είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά )

Οπότε, σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα ο εφάπτεται της κοινής εξωτερικής εφαπτόμενης των . Η ευθεία που ορίζει αυτή η εφαπτομένη είναι η ζητούμενη.

treis_kukloi_me_koinh_efaptomenh.png (24.95 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Υγ. Εικάζω θα υπάρχει κάτι πιο κομψό με θεώρημα Casey, θεώρημα Monge ίσως;

[STOPJOHN]

Καλημέρα Αλέξανδρε ευχαριστώ για τη λύση .Θα γράψω μερικά σχόλια και τη δική μου λύση μόλις βρώ λίγο χρόνο

[STOPJOHN]

Έστω το σημείο επαφής της και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο . Έστω τυχαίο σημείο της πλευράς ,διάφορο από τα και .Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα εφάπτονται μιας ευθείας

Γιάννης

Καλημέρα ,

Θεωρώ την κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δυο κύκλων ,

Θα αποδειχθεί ότι υπάρχει ενας κύκλος που εφάπτεται στην και είναι εγγεγραμμένος στο

τετράπλευρο δηλαδή θα αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο

σε κύκλο. Οπότε θα αποδείχθεί η σχέση περιγραψιμότητας

Είναι



Τα κοινα εξωτερικά εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα ,



Ακόμη ,