Διχοτόμος εκτός προγράμματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διχοτόμος εκτός προγράμματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 10, 2016 6:22 pm

Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png
Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές
Έστω D, E, F τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC με τις πλευρές BC, AC, AB αντίστοιχα και H η προβολή

του D πάνω στην EF. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο K, να δείξετε ότι η KD διχοτομεί τη γωνία \hat{BKC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3950
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διχοτόμος εκτός προγράμματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Οκτ 13, 2016 12:14 am

george visvikis έγραψε:Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png
Έστω D, E, F τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC με τις πλευρές BC, AC, AB αντίστοιχα και H η προβολή

του D πάνω στην EF. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο K, να δείξετε ότι η KD διχοτομεί τη γωνία \hat{BKC}.
Για να μη μείνει αναπάντητο το θέμα...

Προφανώς είναι ADIE εγγράψιμο σε κύκλο \left( \angle IFA=\angle IEA={{90}^{0}} \right) και ας είναι L το σημείο τομής του περίκυκλού του με την AK .

Τότε είναι LH\equiv LA διχοτόμος του τριγώνου \vartriangle FLE (αφού \tau o\xi AE = \tau o\xi AF\left( {AE = AF} \right)).

Είναι \left\{ \begin{gathered} 
  \angle LEF\mathop  = \limits^{F,L,E,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle FAL \equiv \angle BAK\mathop  = \limits^{A,B,K,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle BCK \hfill \\ 
  \angle LFE\mathop  = \limits^{F,L,E,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle LAE \equiv \angle KAC\mathop  = \limits^{A,B,K,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle CBK \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\vartriangle LFE \sim \vartriangle KBC}:\left( 1 \right).
[attachment=0]Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png[/attachment]
Στην άριστη αντιμετώπιση του Λήμματος προέκυψε \vartriangle FHB \sim \vartriangle EHC \Rightarrow \dfrac{{FH}}{{HE}} = \dfrac{{FB}}{{EC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} και συνεπώς οι LH,KD είναι ομόλογα τμήματα

των ομοίων τριγώνων \vartriangle LFE\sim \vartriangle KBC και με LH διχοτόμο της \angle FLE του \vartriangle LFE θα είναι και KD διχοτόμος της ομόλογης γωνίας \angle BKC

του τριγώνου \vartriangle KBC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png
Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png (42.69 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6560
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμος εκτός προγράμματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 13, 2016 5:40 am

george visvikis έγραψε:Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png
Έστω D, E, F τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC με τις πλευρές BC, AC, AB αντίστοιχα και H η προβολή

του D πάνω στην EF. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο K, να δείξετε ότι η KD διχοτομεί τη γωνία \hat{BKC}.
Καλημέρα στους αγαπητούς Γιώργο και Στάθη , καλημέρα σε όλους.

Ας είναι G το σημείο τομής των ευθειών EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC . Τότε η δέσμη H.GDBC είναι αρμονική .

Πράγματι από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα την \overline {GFE} έχουμε:

\dfrac{{AF}}{{FB}} \cdot \dfrac{{BG}}{{GC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BG}}{{GC}} \cdot \dfrac{{DC}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{GB}}{{GC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}}.

Αφού τώρα DH \bot HG στο τρίγωνο \vartriangle HBC η HD είναι εσωτερική διχοτόμος.

Φέρνουμε τώρα παράλληλη από το B στην \overline {GFE} που τέμνει τις AC\,\,,AK στα L\,\,,P.

Από τα προφανώς όμοια τρίγωνα \vartriangle HFB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle HEC και λόγω θεωρήματος δέσμης παραλλήλων έχουμε διαδοχικά:
Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png
Διχοτόμος εκτός προγράμματος.png (50.38 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
\dfrac{{BP}}{{PL}} = \dfrac{{FH}}{{HE}} = \dfrac{{FB}}{{EC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} οπότε PD//LC \Rightarrow \widehat {PDB} = \widehat {ACB} = \widehat {AKB} .

Μετά απ’ αυτά εύκολα έχουμε ότι τα τετράπλευρα PDKB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HDKG είναι εγγράψιμα με συνέπεια \widehat {GKD} = 90^\circ.

Αν λοιπόν οι GK,KD κόψουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC στα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N νότιο και βόρειο πόλο αντίστοιχα , το ζητούμενο προφανές.

Φιλικά Νίκος

Παρατήρηση :

«Κλειδί» στην πιο πάνω λύση είναι το γεγονός ότι η ED διχοτομεί την γωνία \widehat {BHC}.

Ήταν (ως αντίστροφο) το θέμα:

JBMO - short\,list,\,2007 (Γεωμετρία 2 για διαγωνισμούς Μπάμπη Στεργίου σελίδα 257)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης