Γωνία σε τετράπλευρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

dimplak
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Γωνία σε τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Οκτ 10, 2016 10:26 pm

Δίνεται τετράπλευρο ABCD με AB=1 , BC = \sqrt{2} , CD = \sqrt{3} , B \hat{A} C = 66^o , C \hat{A} D = 60^o .

Να βρείτε τη γωνία B \hat{D} C .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνία σε τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιαν 27, 2019 7:26 pm

Καλησπέρα

Αρχικά ας δούμε την κατασκευή

Παίρνουμε τμήμα AB μήκους 1.Έπειτα σχηματίζουμε γωνία \widehat{BAx}=66^{\circ}
Φέρουμε κύκλο με κέντρο B και ακτίνα \sqrt{2},θέτουμε C το σημείο τομής της Ax με τον κύκλο.Σχηματίζουμε γωνία \widehat{CAy}=60^{\circ}.Φέρουμε κύκλο με κέντρο C και ακτίνα \sqrt{3} , άρα D το σημείο τομής του κύκλος μα την Ay

Στο πρόβλημα
  • Νόμος συνημιτόνων στο ABC
    BC^2=AB^2+AC^2-2\cos\widehat{BAC}\cdot AB\cdot AC\Leftrightarrow 2=1+AC^2-2\cos66AC\Leftrightarrow AC^2-2\cos66-1=0
    Λύνουμε την δευτεροβάθμια και έχουμε AC=1.49
  • Νόμος συνημιτόνων στο ADC
    CD^2=AC^2+AD^2-2\cdot \cos \widehat{DAC}\cdot AD\cdot AC\Leftrightarrow 3=1.49^2+AD^2-1.49AD\Leftrightarrow AD^2-1.49AD---0.7799
    Λύνουμε την δευτεροβάθμια και προκύπτει AD=1.09
  • Nόμος συνημιτόνων στο ADB
    DB^2=AB^2+AD^2-2\cos\widehat{BAD}\cdot AD\cdot AB\Leftrightarrow BD^2=1+1.9^2-2\cdot\cos126\cdot 1.9=..=2,62\Leftrightarrow.... BD=2,62
    Με νόμο συνημιτόνων στο CBD βρίσκουμε ότι \cos\widehat{BDC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    άρα \widehat{BDC}=30^{\circ}
Συνημμένα
14.PNG
14.PNG (31.44 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8207
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία σε τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 28, 2019 10:46 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιαν 27, 2019 7:26 pm
Καλησπέρα

Αρχικά ας δούμε την κατασκευή

Παίρνουμε τμήμα AB μήκους 1.Έπειτα σχηματίζουμε γωνία \widehat{BAx}=66^{\circ}
Φέρουμε κύκλο με κέντρο B και ακτίνα \sqrt{2},θέτουμε C το σημείο τομής της Ax με τον κύκλο.Σχηματίζουμε γωνία \widehat{CAy}=60^{\circ}.Φέρουμε κύκλο με κέντρο C και ακτίνα \sqrt{3} , άρα D το σημείο τομής του κύκλος μα την Ay

Στο πρόβλημα
  • Νόμος συνημιτόνων στο ABC
    BC^2=AB^2+AC^2-2\cos\widehat{BAC}\cdot AB\cdot AC\Leftrightarrow 2=1+AC^2-2\cos66AC\Leftrightarrow AC^2-2\cos66-1=0
    Λύνουμε την δευτεροβάθμια και έχουμε AC=1.49
  • Νόμος συνημιτόνων στο ADC
    CD^2=AC^2+AD^2-2\cdot \cos \widehat{DAC}\cdot AD\cdot AC\Leftrightarrow 3=1.49^2+AD^2-1.49AD\Leftrightarrow AD^2-1.49AD---0.7799
    Λύνουμε την δευτεροβάθμια και προκύπτει AD=1.09
  • Nόμος συνημιτόνων στο ADB
    DB^2=AB^2+AD^2-2\cos\widehat{BAD}\cdot AD\cdot AB\Leftrightarrow BD^2=1+1.9^2-2\cdot\cos126\cdot 1.9=..=2,62\Leftrightarrow.... BD=2,62
    Με νόμο συνημιτόνων στο CBD βρίσκουμε ότι \cos\widehat{BDC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    άρα \widehat{BDC}=30^{\circ}
Όλες οι τιμές των τμημάτων που έχουν υπολογιστεί είναι κατά προσέγγιση και με αυτές τις τιμές η ζητούμενη γωνία δεν μπορεί

να βγει 30^\circ. Για παράδειγμα, έχει γραφτεί AD=1.9 ενώ στην πραγματικότητα είναι \displaystyle AD = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{2}

Στα μαθηματικά χρησιμοποιούμε προσεγγιστικές τιμές, μόνο αν δεν μπορούμε να βρούμε τις ακριβείς τιμές, όπως συμβαίνει σε

τριτοβάθμιες εξισώσεις και κλπ. Δεν μπορείς όμως να γράψεις, λύνω τη δευτεροβάθμια \displaystyle {x^2} - 2\cos 66^\circ x - 1 = 0 και βρίσκω 1.49

Με το ίδιο σκεπτικό θα έπρεπε να γράψεις \widehat{BDC}=29.94^{\circ} και όχι 30^\circ.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Γωνία σε τετράπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Ιαν 28, 2019 10:31 pm

Κρατώντας τις ακρίβειες στο τρίτο δεκαδικό, το αποτέλεσμα είναι \widehat {CDB}=30.060^{0}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6613
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία σε τετράπλευρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 29, 2019 1:13 am

Γράφω από κινητό με ενεργά τα δεδομένα γιατί δεν έχω Internet. Η άσκηση δέχεται σχετικά απλή λύση και δίνει ακριβώς το μέτρο της γωνίας. 30 μοίρες.

Μετά την αποκατάσταση του δικτύου μια με πολλή τριγωνομετρία .

Επειδή 126^\circ  = 90^\circ  + 36^\circ \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,66^\circ  = 126^\circ  - 60^\circ προκύπτουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \cos 126^\circ  =  - \sin 36^\circ  =  - \frac{1}{4}\sqrt {10 - 2\sqrt 5 }  =  - \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}}  \hfill \\ 
  \sin 126^\circ  = \cos 36^\circ  = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4} \hfill \\ 
  \cos 66^\circ  = \cos 126^\circ \cos 60^\circ  + \sin 126^\circ \sin 60^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

έχω: \boxed{\cos 66^\circ  = \frac{{\sqrt {15}  + \sqrt 3 }}{8} - \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{32}}}  = t}
Γωνία σε τετράπλευρο _Απο το 2016_new.png
Γωνία σε τετράπλευρο _Απο το 2016_new.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Το Θ. συνημίτονου στο τρίγωνο ABC τώρα δίδει: {b^2} - 2bt - 1 = 0 απ’ όπου έχω δεκτή ρίζα

\boxed{AC = b = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}}  + \frac{{\sqrt {15}  - \sqrt 3 }}{4}}.

Πάμε τώρα στο \vartriangle ADC . Πάλι με ίδιο θεώρημα με AD = k :

{k^2} + {b^2} - kb = 3 \Rightarrow \boxed{k = AD = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} }

Από το ίδιο θεώρημα στο \vartriangle ABD έχω : \boxed{BD = 1 + \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} και εύκολα μετά στο

\vartriangle DBC με ίδιο θεώρημα βρίσκω \boxed{\widehat \theta  = 30^\circ } .

Υπάρχει μια με λιγότερη τριγωνομετρία( πιο "βαρύ" σχήμα) αλλά θέλω να την ελέγξω .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες