Η α δεν μας απασχολεί

KARKAR · #1

: Η α δεν μας απασχολεί.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο

και την κάθετη προς αυτή στο άκρο

,

η οποία τέμνει την

στο

. Αν

, υπολογίστε την πλευρά

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο και την κάθετη προς αυτή στο άκρο ,

η οποία τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε την πλευρά

Καλησπέρα.

: Η-α-δεν-μας-απασχολεί.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

$E \equiv SD \cap AB,\,ST\parallel AB$ και από $\triangleleft DST\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangleleft DEB \Rightarrow \dfrac{c}{4} = 6 - c \Leftrightarrow c = \dfrac{{24}}{5}$

#3

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο και την κάθετη προς αυτή στο άκρο ,

η οποία τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε την πλευρά

Χαιρετώ τους φίλους Θανάση και Μιχάλη!

: Not a.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Προεκτείνω την

που τέμνει την

στο

και έστω

. Προφανώς $\boxed{x+c=6}$ (1)

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα BDT, BSC

:

$\displaystyle{\frac{x}{{\sin \varphi }} = \frac{{BD}}{{\sin \omega }},\frac{2}{{\sin \varphi }} = \frac{{DC}}{{\sin \omega }} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{8} = \frac{{x + c}}{{10}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{x=4.8}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο και την κάθετη προς αυτή στο άκρο ,

η οποία τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε την πλευρά

Καλησπέρα
$BL//DC\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{CL}{SC},(1), \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c}{8},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{c}{8}=\dfrac{6-c}{2}\Leftrightarrow c=\dfrac{24}{5}$
H σχέση (2)

ισύει από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου

Γιάννης

KARKAR · #5

: Η α δεν μας απασχολεί.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Ας το διατυπώσω διαφορετικά : Αν AC>AB

και $\dfrac{AC}{AB}=\lambda$ , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$

#6

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΑς το διατυπώσω διαφορετικά : Αν και $\dfrac{AC}{AB}=\lambda$ , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$

: Not a.II.png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

$\displaystyle{\frac{{y - c}}{{b - y}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\lambda } \Leftrightarrow b = \lambda c \wedge \frac{{y - c}}{{\lambda c - y}} = \frac{1}{\lambda }}$ , απ' όπου

$\displaystyle{y = \frac{{2\lambda c}}{{\lambda + 1}} \Rightarrow \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{y}{{\lambda c - y}} = ... = \frac{2}{{\lambda - 1}}}$

#7

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΑς το διατυπώσω διαφορετικά : Αν και $\dfrac{AC}{AB}=\lambda$ , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$

Κάτι παρεμφερές:

Αν η

κόψει την

στο

με Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AHS$ με τέμνουσα την $\overline {BDC}$ έχουμε

$\dfrac{{AB}}{{BH}} \cdot \dfrac{{HD}}{{DS}} \cdot \dfrac{{SC}}{{CA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SC}}{{BH}} = \lambda \,\,(1)$ .

Αν τώρα θέσουμε SC = 1,AS = x,BH = y

θα ισχύουν :

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{x + 1}}{c} = \lambda \hfill \\ x = c + y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = \lambda c \hfill \\ c = x - y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x + 1 = \lambda (x - y)$

: Η α δεν μας απασχολεί.png (14.62 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Οπότε: $\lambda y + 1 = x(\lambda - 1)$ , επειδή δε η (1)

γράφεται : $\boxed{\lambda y = 1}$ η προηγούμενη δίδει

$\boxed{\dfrac{{AS}}{{SC}} = x = \dfrac{2}{{\lambda - 1}}}$

Φιλικά Νίκος

Παρατήρηση :

Στην αρχική ανάρτηση δόθηκε x = 3

και άρα

$\lambda = \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{8}{{AB}} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{24}}{5}}$

KARKAR · #8

: Η α δεν μας απασχολεί.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Πάμε στο τρίτο ερώτημα : Δείξτε ότι το τμήμα

είναι ο αρμονικός μέσος των AB,AC

STOPJOHN · #9

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΠάμε στο τρίτο ερώτημα : Δείξτε ότι το τμήμα είναι ο αρμονικός μέσος των

Kαλημέρα
Από το προηγούμενο ερώτημα είναι

$\dfrac{AS}{CS}=\dfrac{2}{\lambda -1}\Leftrightarrow \dfrac{AS}{AC}=\dfrac{2}{\lambda +1},(1), \dfrac{AC}{AB}=\lambda ,(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AS}{AB}=\dfrac{2\lambda }{\lambda +1},(3), (1)+(3)\Rightarrow \dfrac{AS}{AC}+\dfrac{AS}{AB}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{2}{AS}$

Γιάννης

#10

KARKAR έγραψε:Η α δεν μας απασχολεί.pngΠάμε στο τρίτο ερώτημα : Δείξτε ότι το τμήμα είναι ο αρμονικός μέσος των

Καλημέρα σε όλους .

Βεβαίως ο Γιάννης έδειξε την κλασική σχέση που ορίζεται και από την αρμονική πρόοδο .

Ευκαιρία δοθείσης λοιπόν να δούμε και τη γεωμετρική της ερμηνεία.

Αν πάρουμε το

συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

θα είναι

κι επειδή δείξαμε ότι :

: Η α δεν μας απασχολεί_2.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

$\dfrac{{x + 1}}{c} = \lambda = \dfrac{1}{y} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AC}}{{AT}} = \dfrac{{SC}}{{ST}}}$ . Δηλαδή η τετράδα: A,T,S,C

είναι αρμονική που ισοδυναμεί με τη ζητούμενη.

Βιβλιογραφία: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α Λυκείου παλιού σχολικού βιβλίου Σ.Γ. Κανέλλου

Παράγραφος

και

σελίδες $97\,\,\kappa \alpha \iota \,\,98$

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #11

: Η α δεν μας απασχολεί.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Μια απόδειξη ακόμη : Είναι : $\dfrac{TS}{SC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c}{b}$ . Επίσης είναι :

$\dfrac{TS}{SC}=\dfrac{AS-c}{b-AS}$ , οπότε : $\dfrac{c}{b}=\dfrac{AS-c}{b-AS}$ , δηλαδή : $AS=\dfrac{2bc}{b+c}$ , ο.ε.δ.

Η α δεν μας απασχολεί

Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Re: Η α δεν μας απασχολεί

Μέλη σε σύνδεση