Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Δεκ 13, 2016 3:08 am

Καλημέρα. Με αφορμή και την πρόσφατη αλλαγή στο αριθμό ετών της ηλικίας μου..
12-12 λόγος ακτινών.PNG
12-12 λόγος ακτινών.PNG (7.26 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=108^{0}..(*) και ισχύει \dfrac{AC}{AB}= \Phi ^{2} , όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής .

1) Να βρεθούν οι γωνίες \widehat{B}, \widehat{C} του τριγώνου ABC.

Το D είναι το σημείο της πλευράς AC για το οποίο ισχύει AC=AB + BD.

Αν HZ ,IK είναι ακτίνες των έγκυκλων στα τρίγωνα BAD, BCD αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί αν ισχύει \dfrac{HZ}{IK}=\dfrac{2+\sqrt{\Phi +2}}{\Phi +2} .

(*) Όχι, ο αριθμός 108 δεν αφορά την τωρινή ηλικία μου αλλά .. :lol: .. ίσως το προσδόκιμο !

Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8672
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα. Με αφορμή και την πρόσφατη αλλαγή στο αριθμό ετών της ηλικίας μου..
12-12 λόγος ακτινών.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=108^{0}..(*) και ισχύει \dfrac{AC}{AB}= \Phi ^{2} , όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής .

1) Να βρεθούν οι γωνίες \widehat{B}, \widehat{C} του τριγώνου ABC.

(*) Όχι, ο αριθμός 108 δεν αφορά την τωρινή ηλικία μου αλλά .. :lol: .. ίσως το προσδόκιμο !

Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλημέρα Γιώργο!

Για το 1) ερώτημα. Κρυφοκοίταξα την ηλικία σου (Χρόνια Πολλά!), οπότε \widehat{B}=54^0, \widehat{C}=18^0 :lol:
Ας δούμε όμως πώς βγαίνει αυτό.

\displaystyle{\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{b}{c} = {\Phi ^2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin ({{72}^0} - C)}}{{\sin C}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \sin {72^0}\cot C - \cos {72^0} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}\cot C = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4} + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \cot C = \frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }} \Rightarrow {\cot ^2}C = \frac{{10(7 + 3\sqrt 5 )}}{{2(5 + \sqrt 5 )}} \Leftrightarrow ...}

\displaystyle{{\cot ^2}C = 5 + 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {\sin ^2}C = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}C}} = \frac{1}{{6 + 2\sqrt 5 }} = {\left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{4}} \right)^2} = {\sin ^2}{18^0}}

Άρα, \boxed{\widehat{B}=54^0, \widehat{C}=18^0} (Χρησιμοποιήθηκαν οι τιμές \displaystyle{\sin {72^0} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4},\cos {72^0} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4}} που

αποδεικνύονται με την πλευρά και το απόστημα του κανονικού 10-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8672
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 13, 2016 12:59 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα. Με αφορμή και την πρόσφατη αλλαγή στο αριθμό ετών της ηλικίας μου..
12-12 λόγος ακτινών.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=108^{0}..(*) και ισχύει \dfrac{AC}{AB}= \Phi ^{2} , όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής .

Το D είναι το σημείο της πλευράς AC για το οποίο ισχύει AC=AB + BD.

Αν HZ ,IK είναι ακτίνες των έγκυκλων στα τρίγωνα BAD, BCD αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί αν ισχύει \dfrac{HZ}{IK}=\dfrac{2+\sqrt{\Phi +2}}{\Phi +2} .

(*) Όχι, ο αριθμός 108 δεν αφορά την τωρινή ηλικία μου αλλά .. :lol: .. ίσως το προσδόκιμο !

Ευχαριστώ , Γιώργος .
Πάμε για το 2) ερώτημα. Η απάντηση είναι Ναι, αλλά ας το δούμε. Λόγω πολλών πράξεων, υποχρεώθηκα
να κόψω αρκετές και να εστιάσω στα βήματα της λύσης.

Θα χρησιμοποιήσω τους τύπους \boxed{{\Phi ^2} - 1 = \Phi } και \boxed{\sqrt 5  = 2\Phi  - 1}.
Λόγος γωνιών-ακτίνων.png
Λόγος γωνιών-ακτίνων.png (17.68 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Είναι \displaystyle{b = c{\Phi ^2},b = c + BD \Rightarrow BD = c({\Phi ^2} - 1) \Leftrightarrow } \boxed{BD=c\Phi}. Από νόμο συνημιτόνων στο ABD, βρίσκουμε ότι AB=AD, BD=DC.

\displaystyle{(ABD) = \frac{{{c^2}}}{2}\sin {108^0} = \frac{{2c + c\Phi }}{2}{r_1} \Leftrightarrow \frac{{{c^2}\sqrt {\Phi  + 2} }}{4} = \frac{{c(\Phi  + 2)}}{2}{r_1} \Leftrightarrow } \boxed{{r_1} = \frac{{c\sqrt {\Phi  + 2} }}{{2(\Phi  + 2)}}} (1)

Από νόμο συνημιτόνων στο BDC, βρίσκουμε ότι a=c\Phi\sqrt{2+\Phi}

\displaystyle{(BDC) = \frac{{{c^2}{\Phi ^2}}}{2}\sin {36^0} = \frac{{c\Phi  + c\Phi  + c\Phi \sqrt {\Phi  + 2} }}{2}{r_2} \Leftrightarrow ...} \boxed{{r_2} = \frac{{c\Phi \sqrt {\Phi  + 2}  \cdot \sqrt {2-\Phi } }}{{2\left( {2 + \sqrt {\Phi  + 2} } \right)}}} (2)

Από (1), (2) προκύπτει ότι \displaystyle{\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{2 + \sqrt {\Phi  + 2} }}{{\Phi  + 2}} \cdot \frac{1}{{\Phi \sqrt {2 - \Phi } }} = \frac{{2 + \sqrt {\Phi  + 2} }}{{\Phi  + 2}}} (γιατί \displaystyle{\Phi \sqrt {2 - \Phi }  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} \cdot \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} = 1})


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6884
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 13, 2016 1:30 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα. Με αφορμή και την πρόσφατη αλλαγή στο αριθμό ετών της ηλικίας μου..
12-12 λόγος ακτινών.PNG

Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=108^{0}..(*) και ισχύει \dfrac{AC}{AB}= \Phi ^{2} , όπου \Phi ο λόγος της χρυσής τομής .

1) Να βρεθούν οι γωνίες \widehat{B}, \widehat{C} του τριγώνου ABC.

Το D είναι το σημείο της πλευράς AC για το οποίο ισχύει AC=AB + BD.

Αν HZ ,IK είναι ακτίνες των έγκυκλων στα τρίγωνα BAD, BCD αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί αν ισχύει \dfrac{HZ}{IK}=\dfrac{2+\sqrt{\Phi +2}}{\Phi +2} .

(*) Όχι, ο αριθμός 108 δεν αφορά την τωρινή ηλικία μου αλλά .. :lol: .. ίσως το προσδόκιμο !

Ευχαριστώ , Γιώργος .
Χαίρετε όλοι σας.

Η άσκηση βασικά είναι τριγωνομετρίας με αρκετές πράξεις .

Η αντιμετώπιση με γεωμετρία προφανώς και παραπέμπει στο κανονικό πεντάγωνο

Έστω ο μοναδιαίο κύκλος (E,1) και το κανονικό πεντάγωνο ABJQD εγγεγραμμένο σ αυτόν .

Αν η BE τέμνει την QD στο K θα είναι : \boxed{EK = {a_5} = \frac{\varphi }{2}} .

Ως γνωστόν \boxed{AB = {\lambda _5} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2} = l} .Η ευθεία AD τέμνει την ευθεία BE στο C.

Το τρίγωνο \vartriangle ABC \to (108^\circ ,54^\circ ,18^\circ ) και DB = DC = x. Επειδή B{D^2} = D{K^2} + K{D^2}

θα έχουμε: {x^2} = {(1 + \dfrac{\varphi }{2})^2} + \dfrac{{{l^2}}}{4} = 2 + \varphi και άρα \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{l + \sqrt {2 + \varphi } }}{l} = {\varphi ^2} .
Υπολογισμοί γωνιών και λόγων.png
Υπολογισμοί γωνιών και λόγων.png (37.02 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές
Το τρίγωνο λοιπόν \vartriangle ABC έχει τις προδιαγραφές της άσκησης και το πρώτο

ερώτημα έχει απαντηθεί .

Επειδή τώρα \dfrac{{ZE}}{{DK}} = \dfrac{{BE}}{{BD}} ( \vartriangle ZBE \approx \vartriangle KBD) έχουμε: \boxed{ZE = \dfrac{l}{{2\sqrt {\varphi  + 2} }} = HZ}\,\,\,(1).

Από την άλλη μεριά (DBC) = BK \cdot DK = \dfrac{{BD + DC + BC}}{2} \cdot IK δηλαδή

\boxed{(1 + \frac{\varphi }{2})\dfrac{l}{2} = \dfrac{{2\sqrt {\varphi  + 2}  + 2 + \varphi }}{2} \cdot IK} και άρα \boxed{IK = \dfrac{{l(\varphi  + 2)(\sqrt {\varphi  + 2}  - 2)}}{{2(\varphi  - 2)}}}\,\,(2)

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) με διαίρεση κατά μέλη έχουμε ότι ισχύει η σχέση που δόθηκε .

Φιλικά

Νίκος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Δεκ 15, 2016 1:48 am

Καλημέρα . Ευχαριστώ τους αγαπητούς Γιώργο και Νίκο για την συνδρομή τους και εδώ !!
Να αναφερθώ μόνο στο α) ερώτημα : Είναι \dfrac{sinB}{sinC}=\Phi ^{2} . Με ''βασικό ύποπτο'' την \widehat{B}= 54^{0}

και θεωρώντας γνωστές τις σχέσεις sin54^{0}=\Phi /2...sin18^{0}=1/2\Phi βρίσκουμε \dfrac{sinB}{sinC}=\dfrac{sin54^{0}}{sin18^{0}}
ενώ και \widehat{B}+\widehat{C}=72^{0} άρα σύμφωνα με την πρόταση :

Αν \dfrac{sinx}{siny}=\dfrac{sina}{sinb} και x+y =a+b τότε x=a .. y=b ( αν θυμάμαι καλά την έχω δει και εδώ στο :logo: )

παίρνουμε \widehat{B}= 54^{0}..\widehat{C}= 18^{0}

Φιλικά Γιώργος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8672
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνιών και λόγου ακτινών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 15, 2016 9:55 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:... άρα σύμφωνα με την πρόταση :

Αν \dfrac{sinx}{siny}=\dfrac{sina}{sinb} και x+y =a+b τότε x=a .. y=b ( αν θυμάμαι καλά την έχω δει και εδώ στο :logo: )

παίρνουμε \widehat{B}= 54^{0}..\widehat{C}= 18^{0}

Φιλικά Γιώργος
Καλημέρα Γιώργο!

Εγώ το είχα βάλει εδώ, αλλά μου διέφυγε τελείως :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης