Απλή κατασκευή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Απλή κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 14, 2017 12:20 am

Απλή κατασκευή.png
Απλή κατασκευή.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές
Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Απλή κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 14, 2017 1:46 am

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1125
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απλή κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Φεβ 14, 2017 2:08 am

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .
Καλημέρα,
aplh_kataskeuh.png
aplh_kataskeuh.png (61.26 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές
Κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC και έστω M το σημείο τομής του με την PA.

Κατασκευάζουμε εν συνεχεία τον περιγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου PMB και έστω K το σημείο τομής του με την AB.

Τέλος κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AMK και έστω L το σημείο τομής του με την AC.

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα που προκύπτουν και τις πορτοκαλί γωνίες στο σχήμα βλέπουμε ότι το BKLC είναι εγγράψιμο.

Παρατηρούμε επίσης ότι \angle MKL = 180^0-\angle MAL και \angle MKP = \angle MBP. Άρα \angle MKL+\angle MKP = 180-\angle MAL + \angle MBP = 180^0 . Αφού \angle MBP = \angle MAL από το εγράψιμο τετράπλευρο AMBC.

Επομένως τα σημεία P, K,L είναι συνευθειακά και ορίζουν την ζητούμενη ευθεία.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Απλή κατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 14, 2017 7:54 am

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .
Απλή κατασκευή.png
Απλή κατασκευή.png (23.97 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές
Η ζητούμενη ευθεία είναι η εκ του P κάθετη στην ακτίνα OA του περίκυκλου \left( O \right) του τριγώνου \vartriangle ABC η οποία έστω ότι τέμνει τις AB,AC στα σημεία K,L αντίστοιχα

Πράγματι αν M,N είναι οι ορθές προβολές του O στις AB,AC αντίστοιχα (μέσα προφανώς των AB,AC) τότε από OA\bot KL σύμφωνα με το

Stathis Koutras’ Theorem θα έχουμε ότι: \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AL}}{{AK}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{{\dfrac{{AC}}{2}}} = \dfrac{{AL}}{{AK}} \Rightarrow  \ldots AK \cdot AB = AL \cdot AC \Rightarrow K,B,C,L ομοκυκλικά:


Στάθης

Υ.Σ. Ευκαιρία ήταν να δούμε και μια διαφορετική απόδειξη του θεωρήματος Nagel


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Απλή κατασκευή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 14, 2017 8:22 am

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .
Για να μαντέψω τη σκέψη του Νίκου

Έστω T το δεύτερο (εκτός του A ) σημείο τομής της PA με τον περίκυκλο \left( O \right) του τριγώνου \vartriangle ABC και ας είναι S το σημείο τομής της στο T καθέτου επί την PA με την μεσοκάθετη της BC . Ο κύκλος \left( S,SB=SC \right) τέμνει τις AB,AC στα σημεία K,L αντίστοιχα. Τα σημεία P,K,L είναι συνευθειακά (*) και η κατασκευή έχει ολοκληρωθεί.

Στάθης

(*)Για την συνευθειακότητα ας αφήσω να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι , απλά δίνω μια "μικρή" βοήθεια
Συνημμένα
1.jpg
1.jpg (3.28 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Απλή κατασκευή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Φεβ 14, 2017 9:33 am

Doloros έγραψε: Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.
Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .
Καλημέρα στους εκλεκτούς μου φίλους.
Αν δεν έχω βιαστεί, τότε, με βάση το σχήμα του Νίκου η τομή του τόξου που βλέπει το PC υπό γωνία \angle ABP με την πλευρά AC δίνει το σημείο L, άρα και το σημείο K της πλευράς AB.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απλή κατασκευή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 14, 2017 12:12 pm

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο ABC και σταθερό σημείο P στη προέκταση τηs CB προς το B.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το P, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC στα K,L και τα σημεία K,B,C,L να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .


Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .
Χαιρετώ τους φίλους!

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε. Επειδή το KLCB είναι εγγεγραμμένο, τότε οι διχοτόμοι των γωνιών B\widehat AC, C\widehat PL θα τέμνονται κάθετα.
Απλή κατασκευή...png
Απλή κατασκευή...png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές
Κατασκευή: Φέρνω τη διχοτόμο AD της γωνίας \widehat A και την κάθετη PQ σε αυτήν. Στη συνέχεια κατασκευάζω γωνία Q\widehat Px=C\widehat PQ. Η Px είναι η ζητούμενη ευθεία.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απλή κατασκευή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 14, 2017 5:36 pm

Απλή κατασκευή_απάντηση.png
Απλή κατασκευή_απάντηση.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
Το τρίγωνο LPC έχει τις γωνίες του σταθερές αφού \widehat {PLC} = 180^\circ  - \widehat B .

Κατασκευάζω ένα κύκλο με μόνη απαίτηση να διέρχεται από τα B,C έστω δε E,Z

τα σημεία τομής του με τις AB,AC. Η παράλληλη από το P προς την EZ είναι

αυτή που θέλω ,


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Μιχάλης Τσουρακάκης και 1 επισκέπτης