Απλή κατασκευή

#1

: Απλή κατασκευή.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Δίδεται τρίγωνο ABC

και σταθερό σημείο

στη προέκταση τηs

προς το

.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το

, να τέμνει τις ευθείες

AB,AC

στα

και τα σημεία K,B,C,L

να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

#2

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες

στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Al.Koutsouridis · #3

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες

στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

Καλημέρα,

: aplh_kataskeuh.png (61.26 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

και έστω

το σημείο τομής του με την

.

Κατασκευάζουμε εν συνεχεία τον περιγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου PMB

και έστω

το σημείο τομής του με την

.

Τέλος κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AMK

και έστω

το σημείο τομής του με την

.

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα που προκύπτουν και τις πορτοκαλί γωνίες στο σχήμα βλέπουμε ότι το BKLC

είναι εγγράψιμο.

Παρατηρούμε επίσης ότι $\angle MKL = 180^0-\angle MAL$ και $\angle MKP = \angle MBP$ . Άρα $\angle MKL+\angle MKP = 180-\angle MAL + \angle MBP = 180^0$ . Αφού $\angle MBP = \angle MAL$ από το εγράψιμο τετράπλευρο AMBC

.

Επομένως τα σημεία P, K,L

είναι συνευθειακά και ορίζουν την ζητούμενη ευθεία.

#4

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες

στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

: Απλή κατασκευή.png (23.97 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Η ζητούμενη ευθεία είναι η εκ του κάθετη στην ακτίνα του περίκυκλου $\left( O \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ η οποία έστω ότι τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα

Πράγματι αν είναι οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα (μέσα προφανώς των ) τότε από $OA\bot KL$ σύμφωνα με το

Stathis Koutras’ Theorem θα έχουμε ότι: $\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AL}}{{AK}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{{\dfrac{{AC}}{2}}} = \dfrac{{AL}}{{AK}} \Rightarrow \ldots$ $AK \cdot AB = AL \cdot AC \Rightarrow K,B,C,L$ ομοκυκλικά:

Στάθης

Υ.Σ. Ευκαιρία ήταν να δούμε και μια διαφορετική απόδειξη του θεωρήματος Nagel

#5

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες

στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

Για να μαντέψω τη σκέψη του Νίκου

Έστω το δεύτερο (εκτός του ) σημείο τομής της με τον περίκυκλο $\left( O \right)$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι το σημείο τομής της στο καθέτου επί την με την μεσοκάθετη της . Ο κύκλος $\left( S,SB=SC \right)$ τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Τα σημεία είναι συνευθειακά (*) και η κατασκευή έχει ολοκληρωθεί.

Στάθης

(*)Για την συνευθειακότητα ας αφήσω να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι , απλά δίνω μια "μικρή" βοήθεια

S.E.Louridas · #6

Doloros έγραψε: Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .
Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Καλημέρα στους εκλεκτούς μου φίλους.
Αν δεν έχω βιαστεί, τότε, με βάση το σχήμα του Νίκου η τομή του τόξου που βλέπει το

υπό γωνία $\angle ABP$ με την πλευρά

δίνει το σημείο

άρα και το σημείο

της πλευράς AB.

#7

Doloros έγραψε:Απλή κατασκευή.png

Δίδεται τρίγωνο και σταθερό σημείο στη προέκταση τηs προς το .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τις ευθείες

στα και τα σημεία να ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Δεκτές λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο "κατώτερο" ή ακόμα και ανώτερο του φακέλου Ο φάκελος μάλλον είναι ο ενδεδειγμένος .

Χαιρετώ τους φίλους!

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε. Επειδή το KLCB

είναι εγγεγραμμένο, τότε οι διχοτόμοι των γωνιών $B\widehat AC, C\widehat PL$ θα τέμνονται κάθετα.

: Απλή κατασκευή...png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Κατασκευή: Φέρνω τη διχοτόμο

της γωνίας $\widehat A$ και την κάθετη

σε αυτήν. Στη συνέχεια κατασκευάζω γωνία $Q\widehat Px=C\widehat PQ.$ Η

είναι η ζητούμενη ευθεία.

#8

: Απλή κατασκευή_απάντηση.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Το τρίγωνο LPC

έχει τις γωνίες του σταθερές αφού $\widehat {PLC} = 180^\circ - \widehat B$ .

Κατασκευάζω ένα κύκλο με μόνη απαίτηση να διέρχεται από τα B,C

έστω δε

τα σημεία τομής του με τις AB,AC

. Η παράλληλη από το

προς την

είναι

αυτή που θέλω ,

Απλή κατασκευή

Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Re: Απλή κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση